Question

18．如图所示，在边长为4l的正方形abcd区域内有方向竖直向上，电场强度为E的匀强电场，在长为4l、宽为l的长方形aa′b′b区域内有垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场．将一带电小球从距离ab边某高度处由静止释放，小球从ab中点O进入aa′b′b区域并恰好做半径为2l的匀速圆周运动．已知重力加速度为g，求：
（1）带电小球的电荷量与质量之比；
（2）小球从释放到射出电场所需要的时间．

Answer 1

分析 （1）带电小球进入电磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，重力与电场力合力为零，据此求出荷质比．
（2）带电小球在电磁场中做匀速圆周运动，求出小球转过的圆心角，然后求出在磁场中的运动时间，离开磁场后小球做匀速直线运动，求出在电场中的运动时间，然后求出总的运动时间．

解答 解：（1）带电小球在电磁场区域做匀速圆周运动，
重力与电场力合力为零，洛伦兹力提供向心力，
则：mg=qE，解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{g}{E}$；
（2）小球在电磁场区域做匀速圆周运动，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，由题意知：r=2l，解得：v=$\frac{2glB}{E}$，
小球进入电磁场前做自由落体运动，
自由落体运动时间：t₁=$\frac{v}{g}$=$\frac{2lB}{E}$，
小球在磁场中转过的圆心角为θ：sinθ=$\frac{l}{r}$=$\frac{l}{2l}$=$\frac{1}{2}$，θ=30°，
粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
在磁场中的运动时间：t₂=$\frac{θ}{360°}$T=$\frac{πm}{6qB}$；
小球离开磁场后做匀速直线运动，速度方向与竖直方向PP′成30°角，
Pb′=rcos30°=$\sqrt{3}$l，b′c=3l，小球恰好从c点射出，
小球离开磁场直到离开电场所用时间：t₃=$\frac{Pc}{v}$=$\frac{2\sqrt{3}l}{v}$，
小球的运动时间：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{2Bl}{E}$+$\frac{E（π+6\sqrt{3}）}{6Bg}$；
答：（1）带电小球的电荷量与质量之比为$\frac{g}{E}$；
（2）小球从释放到射出电场所需要的时间为$\frac{2Bl}{E}$+$\frac{E（π+6\sqrt{3}）}{6Bg}$．

点评 本题考查了带电小球在复合场中的运动，小球先做自由落体运动，然后做匀速圆周运动，最后做匀速直线运动，分析清楚小球的运动过程是解题的前提与关键，应用平衡条件、牛顿第二定律与运动学公式可以解题．