Question

（20分）如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一、四象限有磁场，方向垂直于Oxy平面向里。位于极板左侧的粒子源沿x轴向右连续发射质量为m、电量为＋q、速度相同、重力不计的带电粒子。在0~3t₀时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极板边缘的影响）。已知t = 0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t₀时刻经极板边缘射入磁场。上述m、q、l、t₀、B为已知量。（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）求：

（1）两板间的电压U₀（4分）。

（2）0~3t₀时间内射入两板间的带电粒子在磁场中运动的最短时间t（8分）。

（3）t₀时刻射入两板间的带电粒子进入磁场和离开磁场时的位置坐标（8分）。

 

 

 

Answer 1

【答案】

  （1）时刻进入两极板的带电粒子在电场中做类平抛运动，时刻刚好从极板边缘射出，在y轴负方向偏移的距离为，则有            ①       1分         

                                    ②       1分

                             ③        1分

    联立解得两极板间偏转电压为              _1分

（2）时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短。 

                                                      2分

  带电粒子沿x轴方向的分速度大小为          _1分   

    带电粒子离开磁场时沿y轴正方向的分速度为   1分

      设粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为，则   1分

   由牛顿运动定律得：                    1分

   周期                                    1分

   联立求得最短时间为                   1分

（3）如上所述，t₀/2时刻进入两极板的带电粒子，前t₀/2时间在电场中偏转，后t₀/2时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动离开电场。由③式，则在前时间沿y轴方向的位移：

                                             1分

 之后时间沿y轴方向的位移           1分

 故带电粒子与y轴相交的坐标为，即带电粒子进入磁场时的位置坐标为；                                           1分

     设带电粒子离开电场时速度方向与y轴负方向的夹角为，则：

                                 1分

     此后受到洛伦兹力向上偏转，利用几何关系可以求得带电粒子进入磁场和离开磁场时的位置相距.                                   1分     

又 带电粒子离开电场时沿y轴负方向的分速度大小为 

带电粒子离开电场时的速度大小为                  _1分

设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，则有 

由以上各式解得                                        _1分

    故,因此带电粒子离开磁场时的位置在y轴的坐标

    ，即带电粒子离开磁场时的位置坐标为：

     .                                         1分