Question

17．如图所示，可视为质点的遥控赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直半圆轨道，并到达半圆轨道的最高点C．B是半圆轨道的最低点，水平直线轨道和半圆轨道相切于B点．已知赛车质量m=0.4kg，通电后以额定功率P=3W工作，进入竖直圆轨道前受到的阻力恒为重力的0.1倍，随后在运动中受到的阻力均可不计，L=10.00m，R=0.50m，g取10m/s²．求：
（1）要使遥控赛车能到达C点，赛车在半圆轨道的B点的速度至少多大；
（2）要使遥控赛车能到达C点，电动机至少工作多长时间．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出最高点的最小速度，根据机械能守恒求出B点的最小速度．
（2）抓住功率不变，根据水平面上的运动运用动能定理，求出电动机工作的最少时间．

解答 解：（1）当赛车恰好过C点时在B点的速度最小，赛车在C点对有：$mg=m\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$
 解得：${v}_{c}=\sqrt{gR}$…①
对赛车从B到C由机械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}+mg•2R$…②
由①②得：${v}_{B}=\sqrt{5gR}=\sqrt{5×10×0.5}m/s$=5m/s
（2）对赛车从A到B由动能定理得：
$Pt-{F}_{f}L=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-0$…③
代入数据解得：t=3s    
答：（1）赛车恰能完成比赛时，在半圆轨道的B点的速度至少5m/s．
（2）要使赛车完成比赛，电动机从A到B至少工作3s．

点评 本题考查了动能定理与圆周运动的综合，知道最高点的临界情况，以及最低点向心力的来源，结合牛顿第二定律和动能定理综合求解，难度不大．