Question

11．如图所示，在坐标系xOy内有一半径为R的圆形匀强磁场区域，圆心O₁坐标为（0，R），方向垂直纸面向外．在虚线x=R的右侧区域内，有一场强大小为E，沿y轴负方向的匀强电场．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，以速度v₀从O点垂直于磁场方向射入圆形磁场区域，不计粒子重力，粒子运动轨迹在xOy平面内．
（1）若速度v₀方向沿y轴正方向时，粒子恰好从坐标为（R，R）的A点射出磁场，求磁感应强度大小为B的大小为；
（2）若粒子以速度v₀沿与y轴正方向之间成夹角θ=30°的方向从O点射入，求粒子运动轨迹与x轴的交点P（图中未画出）距O点的距离及粒子从O到P的时间．

Answer 1

分析 （1）粒子正对磁场圆心射入，则粒子射出磁场时速度反向延长线仍经过圆心，根据几何关系可求出轨迹半径，由洛伦兹力提供向心力，列式求出B的大小；
（2）画出粒子在磁场中运动轨迹，根据几何关系求出粒子转过的圆心角，并求出P到O的距离，由圆心角求时间．

解答 解：（1）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则
 qvB=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
由几何关系得r=R
由①②得 B=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$
（2）①如图1所示，粒子射入磁场后，在磁场中以O₂为圆心做匀速圆周运动，从P第一次射出磁场，图中OO₂ PO₁是边长为R的菱形，PO₂平行于y轴，故粒子射出磁场后速度沿x轴正方向．
由几何关系得 PO=2Rcos30°=$\sqrt{3}$R
轨迹的圆心角 θ₁=120°=$\frac{2π}{3}$
粒子从O到P的时间 t₁=$\frac{{θ}_{1}R}{{v}_{0}}$=$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$．
②如图2所示，粒子射入磁场后，在磁场中以O₃为圆心做匀速圆周运动，从P′第一次射出磁场，图中OO₃ P′O₁是边长为R的菱形，P′O₃平行于y轴
由几何关系得 PO=2Rsin30°=R
轨迹的圆心角 θ₂=60°=$\frac{π}{3}$
粒子从O到P的时间 t₂=$\frac{{θ}_{2}R}{{v}_{0}}$=$\frac{πR}{3{v}_{0}}$
答：
（1）磁感应强度大小为B的大小为$\frac{m{v}_{0}}{qR}$．
（2）粒子运动轨迹与x轴的交点P距O点的距离为$\sqrt{3}$R或R，对应的粒子从O到P的时间分别为$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$或$\frac{πR}{3{v}_{0}}$．

点评 解决此类问题的关键是灵活运用几何知识，在图象中作出粒子运动的轨迹，根据几何关系抓住粒子做圆周运动时洛伦兹力提供向心力展开讨论即可．正确作出粒子运动轨迹是解决本题的关键．