Question

如图（a），磁铁A、B的同名磁极相对放置，置于水平气垫导轨上．A固定于导轨左端，B的质量m=0.5kg，可在导轨上无摩擦滑动．将B在A附近某一位置由静止释放，由于能量守恒，可通过测量B在不同位置处的速度，得到B的势能随位置x的变化规律，见图（c）中曲线I．若将导轨右端抬高，使其与水平面成一定角度（如图（b）所示），则B的总势能曲线如图（c）中II所示，将B在x=20.0cm处由静止释放，求：（解答时必须写出必要的推断说明．取g=9.8m/s²）
（1）B在运动过程中动能最大的位置；
（2）运动过程中B的最大速度和最大位移．
（3）图（c）中直线III为曲线II的渐近线，求导轨的倾角．
（4）若A、B异名磁极相对放置，导轨的倾角不变，在图（c）上画出B的总势能随x的变化曲线．

Answer 1

分析：（1）根据功能关系可知，当势能最小时，动能最大．
（2）由图得出释放时的势能便是整个运动过程中的总能量，根据能量转化与守恒可知势能最小时动能最大，据此可求得最大速度和最大位移．
（3）所谓渐近线，就是曲线 II的趋势线，即当x→∞时曲线 II趋向于渐近线III，所谓x→∞物理意义是磁场很小到可以忽略不计的位置，此时总势能可以认为只有重力势能而没有磁场能．所以渐近线III表示B的重力势能随位置变化关系．然后根据数学知识可以求得结果．
（4）因为异名磁极相互吸引，所以释放B后，B向A运动，引力做正功，势能减小，无穷远处势能为0，减小后自然为负，所以，其图象是关于图线 III与图线 II对称的曲线．

解答：解：（1）势能最小处动能最大
由图线II得x=6.1cm（在5.9～6.3cm间均视为正确）
故B在运动过程中动能最大的位置为x=6.1cm．
（2）由图读得释放处（x=20.0cm处）势能E_p=0.90J，此即B的总能量．由于运动中总能量守恒，因此在势能最小处动能最大，由图象得最小势能为0.47J，则最大动能为E_km=0.9-0.47=0.43J
（E_km在0.42～0.44J间均视为正确）
最大速度为vm=

2Ekm m

=

2×0.43 0.5

=1.31(m/s)（v_m在1.29～1.33 m/s间均视为正确）
x=20.0 cm处的总能量为0.90J，最大位移由E=0.90J的水平直线与曲线II的左侧交点确定，由图中读出（左侧）交点位置为x=2.0cm，因此，最大位移△x=20.0-2.0=18.0cm（△x在17.9～18.1cm间均视为正确）
故运动过程中B的最大速度为1.31m/s，最大位移为18.0cm．
（3）渐近线III表示B的重力势能随位置变化关系，即E_Pg=mgxsinθ=kx
∴sinθ=

k

mg

由图读出直线斜率k=

0.85-0.30

20.0-7.0

=4.23×10-2(J/cm)
θ=sin-1(

k×102

mg

)=sin-1

4.23

0.5×9.8

=59.7°（θ在59°～61°间均视为正确）
故导轨的倾角为59.7⁰．
（4）若异名磁极相对放置，A，B间相互作用势能为负值，总势能如图中红线所示，

点评：本题考查包括重力势能、磁场能和动能在内的能量守恒，其中，总势能包括重力势能和磁极间相互作用势能即磁场能，还要读图和作图，有一定难度，难点在（1）关于渐近线，有的同学没有学过，不懂渐近线是什么，即使知道渐近线是曲线的趋势线，也难知道对本题来说，渐近线是重力势能线．（2）把曲线 II转化为答案中的红线，把重力势能与磁场能之和转化为二者之差也不容易．此题高考中从来没有出现过，是创新．