Question

7．如图所示是游乐园内某种过山车的示意图．半径为R=5.0m的光滑圆形轨道固定在倾角为θ=37°的斜轨道面上的A点，圆轨道的最高点D与车（视为质点）的初始位置P点平齐，B为圆轨道的最低点，C点与圆心O等高，圆轨道与斜轨道PA之间平滑连接．小车从P点由静止开始下滑，恰好到达C点．已知g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，车的质量m=100kg．求：
（1）小车经过B点时的速度大小v_B；
（2）小车与斜轨道的动摩擦因数为μ（保留两位小数）；
（3）小车从P点滑下，为使小车恰好能通过圆形轨道的最高点D，则它在P点沿斜面向下的初速度v₀．（保留根号）

Answer 1

分析 （1）小车从B运动到C的过程，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律可求得B点的速度；
（2）小车从P到C的过程，运用动能定理可求得动摩擦因数为μ；
（3）由最高点D的临界条件可求得最高点D的速度；再对小车从P到D点由动能定理列式，联立可求得初速度．

解答 解：（1）设小车经过B点时的速度为v_B，从B到C的过程机械能守恒，有：
mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²
解得：v_B=$\sqrt{2gR}$=10m/s
（2）设P、A两点间距离为L，由几何关系可得：
Lsinθ=R（1+cosθ）
可得：L=15m
小车从P到C的过程，运用动能定理得：
mgR-μmgcosθ•L=0
解得：μ=$\frac{5}{12}$≈0.42
（3）设小车恰好通过圆形轨道时在D点的临界速度为v_D，则：
  mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
小车从P运动到D，根据动能定理：
-μmgcosθ•L=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv₀²
联立解得：v₀=5$\sqrt{6}$m/s
答：（1）小车经过B点时的速度大小v_B是10m/s
（2）小车与斜轨道的动摩擦因数为μ是0.42；
（3）小车从P点滑下，为使小车恰好能通过圆形轨道的最高点D，则它在P点沿斜面向下的初速度v₀是5$\sqrt{6}$m/s．

点评 本题是动能定理、机械能守恒的综合应用，要注意正确分析题意，从而可以正确建立物理模型，再选择合适的物理规律求解．