Question

如图，水平放置的平行板电容器，原来两极板不带电，上极板接地，它的极板长L=0.1m，两极板间距离d=0.4cm．有一束相同微粒组成的带电粒子流从两极板中央平行于极板射入，由于重力作用微粒落到下板上．已知微粒质量为m=2×10^-6kg，电荷量为q=+1×10^-8C，电容器电容为C=10^-6F，g取10m/s²，求：
（1）为使第一个微粒的落点范围在下极板中点到紧靠边缘的B点之间，则微粒入射速度v₀应为多少？
（2）若带电粒子落到AB板上后电荷全部转移到极板上，则以上述速度射入的带电粒子最多能有多少个落到下极板上？

Answer 1

分析：（1）根据粒子做平抛运动的规律，运用运动的合成与分解，并依据运动学公式，即可求解；
（2）根据牛顿第二定律，结合电场力表达式，与运动学公式，即可求解．

解答：解：（1）第一个粒子在极板间做平抛运动，即
水平位移：x=v₀t…①
竖直位移：

d

2

=

1

2

gt²…②
由①、②得：x=v₀

d g

为使第一粒子能落在下板中点O到紧靠边缘的B点之间，x必须满足

L

2

≤x≤L
所以有

L

2

≤v₀

d g

≤L

L

2

g d

≤v₀≤L

g d

即：2.5m/s≤v₀≤5m/s
（2）设以上述速度入射的带电粒子，最多能有n个落到下极板上．则第（n+1）个粒子的加速度为a，
由牛顿运动定律得：
mg-qE=ma…③
其中：E=

U

d

=

Q

Cd

=

nq

Cd

…④
由③、④得：a=g-

nq2

Cmd

… ⑤
第（n+1）粒子做匀变速曲线运动
x=v₀t=L
y=

1

2

at2
得：y=

1

2

（g-

nq2

Cmd

）（

L

v0

）²；
第（n+1）粒子不落到极板上，则y≤

d

2

；
得：

1

2

(g-

nq2

Cmd

)(

L

v0

)2≤

d

2

因此有：n=

Cmd

q2

(g-

v 2 0

L2

d)=

10-6×2×10-6

(10-8)2

(10-

2．52

0．12

×0.4×10-2)=600个；
答：（1）为使第一个粒子能落在下板中点O到紧靠边缘的B点之间，粒子入射速度v₀应为2.5m/s≤v₀≤5m/s；
（2）以上述速度入射的带电粒子，最多能有600个落到下极板上．

点评：考查如何处理平抛运动的思路，掌握运动的合成与分解的方法，理解运动学公式与牛顿第二定律的综合应用．