Question

4．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的运行周期为T₁，已知引力常量为G，则该天体的密度为$\frac{3π}{{GT}_{1}^{2}}$．若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T₂，则该天体的密度又可表示为$\frac{3{π（R+h）}^{3}}{{{GT}_{2}^{2}R}^{3}}$．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力求出天体的质量，结合天体的体积求出天体的密度．

解答 解：根据万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R得，
天体的质量M=$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}_{1}^{2}}$．
则天体的密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3π}{{GT}_{1}^{2}}$．
若这颗卫星距该天体的表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T₂，
根据$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h）得，
天体的质量M=$\frac{{{4π}^{2}（R+h）}^{3}}{{GT}_{2}^{2}}$．
则天体的密度ρ′=$\frac{3{π（R+h）}^{3}}{{{GT}_{2}^{2}R}^{3}}$．
故答案为：$\frac{3π}{{GT}_{1}^{2}}$；$\frac{3{π（R+h）}^{3}}{{{GT}_{2}^{2}R}^{3}}$

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论，结合轨道半径和周期求解中心天体的质量．