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4.假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星,若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的运行周期为T1,已知引力常量为G,则该天体的密度为$\frac{3π}{{GT}_{1}^{2}}$.若这颗卫星距该天体表面的高度为h,测得在该处做圆周运动的周期为T2,则该天体的密度又可表示为$\frac{3{π(R+h)}^{3}}{{{GT}_{2}^{2}R}^{3}}$.

分析 根据万有引力提供向心力求出天体的质量,结合天体的体积求出天体的密度.

解答 解:根据万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R得,
天体的质量M=$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}_{1}^{2}}$.
则天体的密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3π}{{GT}_{1}^{2}}$.
若这颗卫星距该天体的表面的高度为h,测得在该处做圆周运动的周期为T2
根据$\frac{GMm}{{(R+h)}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$(R+h)得,
天体的质量M=$\frac{{{4π}^{2}(R+h)}^{3}}{{GT}_{2}^{2}}$.
则天体的密度ρ′=$\frac{3{π(R+h)}^{3}}{{{GT}_{2}^{2}R}^{3}}$.
故答案为:$\frac{3π}{{GT}_{1}^{2}}$;$\frac{3{π(R+h)}^{3}}{{{GT}_{2}^{2}R}^{3}}$

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论,结合轨道半径和周期求解中心天体的质量.

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