Question

12．如图所示，以O为圆心、半径为R的圆形区域内存在垂直圆面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一粒子源位于圆周上的M点，可向磁场区域内垂直磁场沿各个方向发射质量为m、电荷量为-q的粒子，不计粒子重力，N为圆周上另一点，半径OM和ON间的夹角θ，且满足tan$\frac{θ}{2}$=0.5．
（1）若某一粒子以速率v₁=$\frac{qBR}{m}$，沿与MO成60°角斜向上方向射入磁场，求此粒子在磁场中运动的时间；
（2）若某一粒子以速率v₂，沿MO方向射入磁场，恰能从N点离开磁场，求此粒子的速率移v₂；
（3）若由M点射人磁场各个方向的所有粒子速率均为v₂，求磁场中有粒子通过的区域面积．

Answer 1

分析 （1）某一粒子以速率v₁=$\frac{qBR}{m}$，沿与MO成60°角斜向上方向射入磁场，由半径公式知，该粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径等于磁场区域的半径，由几何关系知道，该粒子的轨迹和偏转角均能求出，从而求出该粒子运动的时间．
（2）某一粒子以速率v₂，沿MO方向射入磁场，恰能从N点离开磁场，由几何关系求得其做匀速圆周运动的半径，由洛仑兹力提供向心力求出入射速度v₂．
（3）若由M点射人磁场各个方向的所有粒子速率均为v₂，这些粒子在磁场中有相同的半径r₂，则圆心轨迹是以M为圆心、半径为r₂的圆．试着画出极端情况下粒子能达到的区域，从而把粒子能到达的整个区域面积求出来．

解答 解：（1）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，设轨迹半径为r₁，由牛顿第二定律可得$q{v}_{1}B=\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$
  解得：${r}_{1}=\frac{m{v}_{1}}{qB}=R$
  粒子沿与与MO成60°方向摄入磁场，设粒子从区域边界P射出，其运动轨迹如图所示．由图中几何关系可知粒子轨迹
  所对应的圆心   角为α=150 
  方法1：故粒子在磁场中的运动的时间$t=\frac{α{r}_{1}}{{v}_{1}}=\frac{mα}{qB}=\frac{5mπ}{6qB}$
  方法2：粒子运动周期：$T=\frac{2πm}{Bq}$
  粒子在磁场中的运动的时间：$t=\frac{{{{150}°}}}{{{{360}°}}}T$=$\frac{5πm}{6qB}$
  得：t=$\frac{5πm}{6qB}$
（2）粒子以速率v₂沿MO方向射入磁场，在磁场中做匀速圆周运动，恰好从N点离开磁场，其运动轨迹如图，设
  粒子轨迹半径为r₂，由图中几何关系可得：${r}_{2}=Rtan\frac{θ}{2}=\frac{1}{2}R$ 
  由牛顿第二定律可得：$q{v}_{2}B=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{{r}_{2}}$
  解得：粒子的速度：${v}_{2}=\frac{qB{r}_{2}}{m}=\frac{qBR}{2m}$
（3）（5分）粒子沿各个方向以v₂进入磁场做匀速圆周时的轨迹半径都为r₂，且不变．由图可知，粒子在磁场中 通过的面积S等于以O₃为圆心的扇形MO₃O的面积S₁、以M为圆心的扇形MOQ的面积S₂和以O点为圆心的圆弧
  MQ与直线MQ围成的面积S₃之和．
  ${S_1}=\frac{1}{2}π{（\frac{R}{2}）^2}=\frac{{π{R^2}}}{8}$，${S_2}=\frac{1}{6}π{R^2}$，${S}_{3}=\frac{1}{6}π{R}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^{2}$     
  所以：$S=\frac{11}{24}π{R^2}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{R^2}$  
答：（1）若某一粒子以速率v₁=$\frac{qBR}{m}$，沿与MO成60°角斜向上方向射入磁场，此粒子在磁场中运动的时间为$\frac{5πm}{6qB}$．
（2）若某一粒子以速率v₂，沿MO方向射入磁场，恰能从N点离开磁场，此粒子的速率为$\frac{qBR}{2m}$．
（3）若由M点射人磁场各个方向的所有粒子速率均为v₂，磁场中有粒子通过的区域面积为$\frac{11}{24}π{R}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^{2}$．

点评 本题的难点在第三问，要找到粒子能到达的区域，首先要考虑的是粒子的偏转方向--顺时针；其次要考虑的极端情况①从M点竖直向上射出，则可以做完整的圆周运动．②然后把这个完整的圆绕M点转动180°，则该圆与磁场区域公共部分，就是粒子能达到的区域．