Question

14．用如图所示的水平传送带和斜面将货物运送到斜面的顶端，传送带两端AB的距离为d=10.4m，传送带以v₁=10m/s顺时针匀速运动，右端B靠近倾角θ=37°的斜面底端，斜面底端与传送带的B端之间用一段长度可以不计的小圆弧平滑连接．斜面的总长L=9.8m，当物体以v₂=12m/s向右的水平初速度从A点冲上传送带，发现物体通过B点后经t=2.0s第二次到达斜面上的C点，物体和所有接触面的动摩擦因数均为μ=0.5．求：
（1）物体从A点到达B点的时间；
（2）BC的距离；
（3）为了将物体送上斜面的顶端，要在A端给物体一个向右的水平初速度，求这个初速度的最小值．

Answer 1

分析 （1）滑动摩擦力提供加速度，根据牛顿第二定律可得物体在水平传送带AB上的加速度a₁=μg，物体在水平传送带上先做匀减速直线运动，减速的时间t₁=$\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{{a}_{1}}$，位移X₁=$\frac{{{v}_{2}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{1}}$，当与传送带共速后开始做匀速直线运动，匀速的时间t₂=$\frac{d-{X}_{1}}{{v}_{1}}$，所以，物体从A点到达B点的时间t=t₁+t₂．代入数据计算即可．
（2）物体在斜面BC上向上运动时的加速度a₂=gsinθ+μgcosθ，从经过B点到在斜面上速度减为零经历的时间t₃=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{2}}$，位移X₂=$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{2}}$，之后，物体沿斜面下滑，加速度a₃=gsinθ-μgcosθ，再经历时间t₄=t-t₃到达C点，物体下滑的位移X₃=$\frac{1}{2}$a₃t₄²，所以，BC的长度X_BC=X₂-X₃．
（3）物体要到达斜面的顶端，则物体在B点的最小速度v_B，由v_B²=2a₂L得v_B，物体在水平传送带AB上一直做匀减速直线运动，由v_A²-v_B²=2a₁d可解得得物体的最小初速度v_A．

解答 解：（1）物体在水平传送带AB上的加速度
a₁=μg=5 m/s²
物体在水平传送带上先做匀减速直线运动，
减速的时间t₁=$\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{{a}_{1}}$=0.4s
位移X₁=$\frac{{{v}_{2}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{1}}$=4.4m
当与传送带共速后开始做匀速直线运动，
匀速的时间t₂=$\frac{d-{X}_{1}}{{v}_{1}}$=0.6s
所以，物体从A点到达B点的时间t=t₁+t₂=1s
（2）物体在斜面BC上向上运动时的加速度
a₂=gsinθ+μgcosθ=10 m/s²
从经过B点到在斜面上速度减为零经历的时间t₃=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{2}}$=1s
位移X₂=$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{2}}$=5m
之后，物体沿斜面下滑，加速度a₃=gsinθ-μgcosθ=2 m/s²
再经历时间t₄=t-t₃=1s到达C点，物体下滑的位移X₃=$\frac{1}{2}$a₃t₄²=1m
所以，BC的长度X_BC=X₂-X₃=4m
（3）物体要到达斜面的顶端，则物体在B点的最小速度v_B
由v_B²=2a₂L得 v_B=14m/s
物体在水平传送带AB上一直做匀减速直线运动，
由v_A²-v_B²=2a₁d得
物体的最小初速度v_A=17.3m/s
答：（1）物体从A点到达B点的时间为1s；
（2）BC的距离为4m；
（3）为了将物体送上斜面的顶端，要在A端给物体一个向右的水平初速度，则这个初速度的最小值为17.3m/s．

点评 此题文字较多，首先要有耐心读题．对于传送带问题，关键是分析物体的运动情况，本题要边计算边分析，不能只定性分析．