Question

10．如图（a）所示，水平放置的平行金属板A和B间的距离为d，板长L=2$\sqrt{3}$d，B板的右侧边缘恰好位于倾斜挡板NM上的小孔K处，NM与水平挡板NP成60°角，K与N间的距离$\overline{KN}$=a．现有质量为m带正电且电荷量为q的粒子组成的粒子束，从AB的中点O以平行于金属板方向的速度v₀不断射入，不计粒子所受的重力．

（1）若在A、B板上加一恒定电压U=U₀，则要使粒子恰好从金属板B右边缘射出进入小孔K，求U₀的大小．
（2）若在A、B板上加上如图（b）所示的电压，电压为正表示A板比B板的电势高，其中T=$\frac{2L}{{v}_{0}}$，且粒子只在0～$\frac{T}{2}$时间内入射，则能从金属板B右边缘射出进入小孔K的粒子是在何时从O点射入的？
（3）在NM和NP两档板所夹的某一区域存在一垂直纸面向里的匀强磁场，使满足条件（2）从小孔K飞入的粒子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板NP上（之前与挡板没有碰撞），求该磁场的磁感应强度的最小值．

Answer 1

分析 （1）带电粒子做类平抛运动，根据平抛运动的基本公式即可求解；
（2）粒子在水平方向做匀速直线运动，粒子运动的时间都为$\frac{T}{2}$，再根据类平抛运动求解时间．
（3）粒子从K点入射后做匀速直线运动从D点开始进入磁场，粒子在进入磁场后，根据左手定则，所受的洛伦兹力斜向上，要使粒子能垂直打到水平挡板NP，则粒子需偏转300°后从E射出，做匀速直线运动垂直打到NP．粒子作圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，要使B最小，则要半径r最大，临界情况是圆周运动的轨迹恰好跟两挡板相切，结合几何关系即可求解．

解答 解：（1）粒子做类平抛运动，则：
水平方向：L=V₀t
竖直方向：$\frac{d}{2}$=$\frac{1}{2}\frac{q{U}_{0}}{md}{t}^{2}$
又L=$2\sqrt{3}d$
联立得：U₀=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{12q}$
（2）粒子在水平方向做匀速直线运动，粒子运动的时间都为：
t=$\frac{L}{{v}_{0}}$
设粒子在t′时刻进入金属板，粒子类平抛运动的时间为t″，则；$\frac{d}{2}=\frac{1}{2}×\frac{q4{U}_{0}}{md}t{″}^{2}$
又L=$2\sqrt{3}d$
联立得：t″=$\frac{T}{4}$
所以$t′=t-t″=\frac{T}{4}$
（3）粒子运动轨迹如图所示：

粒子从K点入射后做匀速直线运动从D点开始进入磁场，粒子在进入磁场后，
根据左手定则，所受的洛伦兹力斜向上，要使粒子能垂直打到水平挡板NP，
则粒子需偏转300°后从E射出，做匀速直线运动垂直打到NP．
粒子作圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{mv}{qr}$，
要使B最小，则要半径r最大，临界情况是圆周运动的轨迹恰好跟两挡板相切，
如图所示，根据对称性圆周运动的圆心C、交点G位于∠MNP的角平分线上，
则由几何关系可得：CDKF是边长为r的正方形．则在三角形NCF中，
由几何知识得：$\frac{r}{tan30°}$=a+r，
解得：r=$\frac{a}{\sqrt{3}-1}$，
解得：B_min=$\frac{（6-2\sqrt{3}）m{v}_{0}}{3qa}$；
答：（1）若在A、B板上加一恒定电压U=U₀，则要使粒子恰好从金属板B右边缘射出进入小孔K，U₀的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{12q}$；
（2）若在A、B板上加上如图（b）所示的电压，电压为正表示A板比B板的电势高，其中T=$\frac{2L}{{v}_{0}}$，且粒子只在0～$\frac{T}{2}$时间内入射，则能从金属板B右边缘射出进入小孔K的粒子是在$\frac{T}{4}$从O点射入的；
（3）在NM和NP两档板所夹的某一区域存在一垂直纸面向里的匀强磁场，使满足条件（2）从小孔K飞入的粒子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板NP上（之前与挡板没有碰撞），该磁场的磁感应强度的最小值为$\frac{（6-2\sqrt{3}）m{v}_{0}}{3qa}$．

点评 本题主要考查了平抛运动、圆周运动的基本公式的应用，要使B最小，则要半径r最大，临界情况是圆周运动的轨迹恰好跟两挡板相切，要求同学们能结合几何关系求解，难度较大．