Question

13．如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在竖直放置、半径为R的光滑圆环顶点P，另一端连接一套在圆环上且质量为m的小球，开始时小球位于A点，此时弹簧处于原长且与竖直方向的夹角为45°，之后小球由静止沿圆环下滑，小球运动到最低点B时速率为v，此时小球与圆环之间压力恰好为零．下列分析正确的是（　　）

• A． 小球过B点时，弹簧的弹力大小为mg+m$\frac{v^2}{R}$
• B． 小球过B点时，弹簧的弹力大小为k（2R-$\sqrt{2}$R）
• C． 从A到B的过程中，重力势能和弹簧的弹性势能转化为小球的动能
• D． 从A到B的过程中，重力对小球做的功等于小球克服弹簧弹力做的功

Answer 1

分析 从A到B的过程中，小球的机械能减小．从A到B的过程中，小球受到弹簧的弹力做负功，重力做正功，根据动能定理分析两个功之间的大小关系．小球过B点时，由重力和弹簧弹力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出弹簧的弹力．小球过B点时，合力与速度垂直，其功率为零．

解答 解：A、根据向心力公式：小球过B点时，则由重力和弹簧弹力的合力提供小球的向心力，F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得：F=mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$，故A正确
由几何知识可知弹簧的原长为$\sqrt{2}$R，则过B点时，弹簧的弹力大小F=k△x=k（2R-$\sqrt{2}$R）．故B正确；
C、以小球和弹簧组成的系统为研究对象，在小球从A到B的过程中，只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，小球重力势能减小转化为弹簧的弹性势能和动能．故C错误．
D、根据能量的转化与守恒：mgR=$\frac{1}{2}$mv²+E_P
得：E_P=mgR-$\frac{1}{2}$mv²
重力对小球做的功减去小球增加的动能等于小球克服弹簧弹力做的功，故D错误；
故选：AB．

点评 此题中小球的机械能不守恒，可以从能量转化的角度进行分析．确定功的大小，可以根据动能定理分析总功的正负来判断．