Question

（2004?广州二模）火星和地球绕太阳的运动可以看作为同一平面内同方向的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径R=1.5×10¹¹m，地球的轨道半径r=1.0×10¹¹m，从如图所示的火星与地球相距最近的时刻开始计时，估算火星再次与地球相距最近需多少地球年？（保留两位有效数字）

Answer 1

分析：根据万有引力提供向心力G

mM

r2

=m

4π2

T2

r，可得T2=

4π2

GM

r3，对于和火星都有同样的关系，所以(

T1

T2

)2=(

r1

r2

)3，这样可以解出火星的周期．两星转过的角度之差△θ=(

2π

T1

-

2π

T2

)t=2 π，可以解得t，即为火星再次与地球相距最近需要的时间．

解答：解：设行星质量为m，太阳质量为M，行星与太阳的距离为r，地球的周期为T₁，火星的周期为T₂，地球的轨道半径为r₁，火星的轨道半径为r₂．
根据万有引力定律，行星受太阳的万有引力F=G

mM

r2

行星绕太阳做近似匀速圆周运动，
根据牛顿第二定律有F=ma=mω²r
ω═

2π

T

以上式子联立G

mM

r2

=m

4π2

T2

r
故T2=

4π2

GM

r3
地球的周期为1年，
(

T1

T2

)2=(

r1

r2

)3
火星的周期为T₂=1.8年
设经时间t两星又一次距离最近，
根据θ=ωt
则两星转过的角度之差
△θ=(

2π

T1

-

2π

T2

)t=2 π
得t=2.3年．
答：火星再次与地球相距最近需2.3地球年．

点评：本题也可运用开普勒周期定律

a3

T2

=k求解火星的周期，这种方法更简洁．此题难度不大，属于中档题．