Question

20．已知地球的两颗人造卫星A和B，设它们都在绕地球做匀速圆周运动，绕行周期分别为T_A和T_B，某时刻两卫星正好与地球在一条直线上且相距最近，如图所示．
求（1）此后再至少经过多长时间A，B再次相距最近
（2）此后再至少经过多长时间A，B相距最远．

Answer 1

分析 （1）某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方，当两颗卫星转动角度相差2π时，即a比b多转一圈，相距最近；
（2）当两颗卫星转动角度相差π时，即a比b多转半圈，相距最远．

解答 解：（1）设再至少经过时间t₁A，B再次相距最近，由题意得ω_At₁-ω_Bt₁=2π
因为${ω_A}=\frac{2π}{T_A}，{ω_B}=\frac{2π}{T_B}$
解得：${t_1}=\frac{{{T_A}{T_B}}}{{{T_B}-{T_A}}}$
（2）设再至少经过时间t₂A，B再次相距最远，由题意得ω_At₂-ω_Bt₂=π
因为${ω_A}=\frac{2π}{T_A}，{ω_B}=\frac{2π}{T_B}$
解得：${t_2}=\frac{{{T_A}{T_B}}}{{2（{T_B}-{T_A}）}}$
答：
（1）此后再至少经过$\frac{{T}_{A}{T}_{B}}{{T}_{B}-{T}_{A}}$时间A，B再次相距最近；
（2）此后再至少经过$\frac{{T}_{A}{T}_{B}}{2（{T}_{B}-{T}_{A}）}$时间A，B相距最远．

点评 本题关的关键是知道：当两颗卫星转动角度相差2π时，相距最近当两颗卫星转动角度相差π时，相距最远，难度不大，属于基础题．