Question

如图所示，甲、乙两光滑圆轨道放置在同一竖直平面内，甲轨道半径是R且为乙轨道半径的2倍，两轨道之间由一光滑水平轨道CD相连，在水平轨道CD上有一轻弹簧被 a、b两个小球夹住，但不拴接．如果a、b两个小球的质量均为m，同时释放两小球，且要求a、b都能通过各自的最高点，则弹簧在释放前至少具有多大的弹性势能？

Answer 1

分析：由题意，同时释放两小球，a、b都能通过各自的最高点，在最高点都由重力提供向心力，根据牛顿第二定律可求出两球到达最高点时的速度．两球释放后到到达圆环最高点的过程，遵守动量守恒．释放弹簧的过程，系统的动量守恒．由动量守恒定律和机械能守恒定律结合求解．

解答：解：当a球恰能通过最高点时，b球一定通过最高点，此时弹簧在释放前具有的弹性势能最小，设a球到达圆轨道最高点的速度为v_a，对于a球有：
mag=ma

v 2 a

R

…①
设a球被弹簧弹开瞬间的速度为v'_a，对于a球由机械能守恒定律可得：

1

2

mav

′

2 a

=

1

2

ma

v

2 a

+mag2R… ②
设b球被弹簧弹开瞬间的速度为v'_b，由于a、b两球被弹开时系统动量守恒：mav'_a=m_bv'_b …③
①②③可得：v′a=v′b=

5gR

… ④
以a、b两小球以及弹簧组成的系统为研究对象，整个过程中由系统机械能守恒可得：Eq=

1

2

mav

′

2 a

+

1

2

mbv

′

2 b

… ⑤
由④⑤得弹性势能最小值为：Ep=5mgR 
答：弹簧在释放前至少具有5mgR的弹性势能．

点评：解决该题关键能判断出小球能通过最高点的条件，然后根据动量守恒定律和机械能守恒定律联立列式求解．