Question

一个竖直放置的光滑圆环，半径为R，c、e、b、d分别是其水平直径和竖直直径的端点．圆环与一个光滑斜轨相接，如图所示．一个小球从与d点高度相等的a点从斜轨上无初速下滑．试求：

   （1） 过b点时，对轨道的压力N_b多大？

   （2） 小球能否过d点，如能，在d点对轨道压力N_d多大？如不能，小球于何处离开圆环？

Answer 1

（1）因为                      

所以     

                       

       

（2）小球如能沿圆环内壁滑动到d点，表明小球在d点仍在做圆周运动，则

 

由上式可见，G是恒量，随着V_d的减小，N_d减小。

当Nd已经减小到零（表示小球刚能到d点，但球与环顶已是接触而无挤压，处于“若即若离”状态）时,是能过d点的最小速度。如小球速度低于这个速度，

就不可能沿圆环到达d点．这就表明小球如能到达d点，其机械能至少应是

但是，小球在a点出发的机械能仅有

因此小球不可能到达d点．     

因此，，即小球从b滑到c点时仍有沿切线向上的速度 ，所以小球一

定是在c、d之间的某点s离开圆环的．设半径Os与竖直方向夹α角，

则由图可见，小球高度。根据机械能守恒定律小球到达S点的速度V_S应符合：

沿半径方向的分力G₁提供向心力，即亦即

                                     

小球从s点开始脱离圆环，所以圆环对小球已无弹力，仅由重力G

将①式代入②式得     mgcosα=2mg（1-cosα）   

cosα=2/3                     

                   

所以，小球到达高度为5R/3的s点开始脱离圆环，做斜上抛运动