Question

在光滑绝缘水平面上固定一个内壁光滑的竖直圆筒S，其俯视图如图，圆筒半径为1m．圆筒轴线与水平面的交点O处用一根不可伸长的长0.5m的绝缘细线系住质量为0.2kg，电量为5×10^-5C的带正电小球．水平方向有一匀强电场E=4×10⁴N/C，方向如图所示．小球从图示位置（细线和电场线平行）以v₀=10m/s垂直于场强方向运动．当小球转过90°时细线突然断裂．求：
（1）细线断裂时小球的速度大小；
（2）若在圆心O处用一根牢固、不可伸长、长为0.5m的绝缘细线系住小球（质量和电量均不变），小球从原位置以初速度10m/s垂直于场强方向开始运动，为保证小球运动过程中细线始终不松弛，求电场强度E大小的取值范围；
（3）在（1）的情况下，细线断裂后小球继续运动并与筒壁碰撞，若小球与筒内壁碰后不反弹，求小球继续沿筒内壁运动的最小速度．

Answer 1

（1）从开始到转过90°的过程中，根据动能定理，有：
-qEL=

1

2

m

v

21

-

1

2

m

v

20

解得：
v1=3

10

m/s（或v₁=9.49m/s）
（2）分两种情况：
①从图示位置转过90⁰，小球速度减为0，则：
-qE₁L=0-

1

2

m

v

20

解得：
E₁=4×10⁵N/C
②从图示位置转过180⁰，绳刚好松弛，则：
-qE2?2r=

1

2

m

v

2min

-

1

2

m

v

20

在速度最小点，电场力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
qE2=m

v 2min

r

解得：
E₂=1.6×10⁵N/C
所以E≤1.6×10⁵N/C或E≥4×10⁵N/C．
（3）细线断裂后，做匀减速直线运动直到碰到圆筒，设碰前瞬间速率为v₂，则
-qE?

r2-L2

=

1

2

m

v

22

-

1

2

m

v

21

解得v2=

90-10 3

m/s（或v₂=8.53m/s）
小球碰筒壁后，沿圆筒切向速度为：
v₃=v₂sin30°
对小球继续做圆周运动过程，根据动能定理，有：
-qE?r（1-cos30°）=

1

2

m

v

24

-

1

2

m

v

23

解得最小速率：
v4=

5+15 3 2

m/s（或v₄=3.94m/s）
答：（1）细线断裂时小球的速度大小为9.49m/s．
（2）为保证小球接下来的运动过程中细线都不松弛，电场强度E的大小范围E≤1.6×10⁵N/C或E≥4×10⁵N/C．
（3）小球碰到圆筒内壁后不反弹，沿圆筒内壁继续做圆周运动中的最小速度值为3.94m/s．