Question

18．在半径为R的某星球上，从高为h的平台上水平踢出一球，欲击中水平面上的A点，若两次踢球的方向都相同，第一次初速度为v₁，着地点比A近了a，第二次初速度为v₂，着地点却比A远了b，已知万有引力常量为G，求该星球的质量和密度．

Answer 1

分析 两球平抛运动的高度相等，则平抛运动的时间相等，结合水平位移关系求出运动的时间，从而得出星球表面的重力加速度，结合万有引力等于重力求出星球的质量，再依据密度公式$ρ=\frac{M}{V}$，即可求解．

解答 解：物体两次做平抛运动，两次下落高度一样，竖直方向 h=$\frac{1}{2}$gt²，则g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$，①
由几何关系可知 v₁t+a=v₂t-b，所以t=$\frac{a+b}{{v}_{2}-{v}_{1}}$，②
设星球质量为M，表面处一个物体质量为m
对表面物体，万有引力等于重力 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，则M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$ ③
联立①②③式得 M=$\frac{2h{R}^{2}（{v}_{2}-{v}_{1}）^{2}}{G（a+b）^{2}}$
再依据密度公式$ρ=\frac{M}{V}$，则有：ρ=$\frac{3h（{v}_{2}-{v}_{1}）^{2}}{2πGR（a+b）^{2}}$．
答：星球的质量$\frac{2h{R}^{2}（{v}_{2}-{v}_{1}）^{2}}{G（a+b）^{2}}$，而其密度为$\frac{3h（{v}_{2}-{v}_{1}）^{2}}{2πGR（a+b）^{2}}$．

点评 本题考查了万有引力与平抛运动的综合，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及万有引力等于重力这一理论，是解决本题的关键．