Question

如图所示，真空中的xOy平面为竖直平面，在第一象限中有竖直向上的匀强电场，第四象限中有垂直于纸面的匀强磁场，场强大小为B．一质量为m、电荷量为q的带电粒子以初速度v_o垂直于y轴从M点射入匀强电场，经电场偏转后和x轴成60°角斜向下从N点进入磁场，最后从Q点水平射出磁场，不计重力．
求：（1）MN两点的电势差U_MN
（2）匀强磁场的方向和粒子运动的半径；
（3）粒子从M到Q所用时间；
（4））电场强度．

Answer 1

分析：（1）粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，由到达N的速度方向可利用速度的合成与分解得知此时的速度，在应用动能定理即可求得电场中MN两点间的电势差．
（2）粒子以此速度进入第四象限，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，根据左手定则可确定磁场方向，先画出轨迹图，找出半径；利用洛伦兹力提供向心力的公式，可求出在磁场中运动的半径．
（3）粒子的运动分为两部分，一是在第一象限内做类平抛运动，二是在第四象限内做匀速圆周运动，分段求出时间，相加可得总时间．
（4）粒子在竖直方向做匀加速直线运动，因此在电场中的高度等于竖直方向平均速度与时间的乘积，从而由U=Ed可算出电场强度．

解答：解：（1）粒子在第一象限内做类平抛运动，进入第四象限做匀速圆周运动．粒子带负电，设粒子过N点的速度为v，有

v0

v

=cosθ得：v=2v₀
粒子从M点到N点的过程，由动能定理有：
（-q）U_MN=

1

2

mv ²-

1

2

mv₀²   
 U_MN=-

3m v 2 0

2q

（2）粒子在电场中向下偏则带电粒子带负电，在磁场中从N向Q偏，
由左手定则可知：磁场方向垂直纸面向里．  
 由qBv=m

v2

R

得R=

2mv0

qB

（3）由几何关系得：
ON=rsinθ
则有：ON=Rcos30°=

3 mv0

qB

，
设粒子在电场中运动的时间为t₁，则有：
ON=v₀t₁
所以运动时间：t₁=

ON

v0

=

3 m

qB

在磁场中的周期为：T=

2πm

qB

，在磁场中的时间：t₂=

120

360

T=

2πm

3qB

则运动总时间为：t=t₁+t₂=

(3 3 +2π)m

3qB

（4）M到N竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，则有：h=

0+v⊥

2

t₁
而v_⊥=v₀tan60°
解得：h=

3mv0

2qB

则由U=Ed，解得：E=

UNM

h

=v₀B
答：（1）MN两点的电势差为-

3m v 2 0

2q

；
（2）匀强磁场的方向垂直纸面向里和粒子运动的半径为

2mv0

qB

；
（3）粒子从M到Q所用时间为

(3 3 +2π)m

3qB

；
（4）电场强度的大小为v₀B．

点评：该题考查了电场和磁场边界问题，不同场的分界面上，既是一种运动的结束，又是另一种运动的开始，寻找相关物理量尤其重要．
粒子在电场中运动偏转时，常用能量的观点来解决问题，有时也要运用运动的合成与分解．
点粒子做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定也是本题的一个考查重点
圆心的确定：因洛伦兹力提供向心力，洛伦兹力总垂直于速度，画出带电粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入磁场和射出磁场的两点）洛伦兹力的方向，其延长的交点即为圆心．或射入磁场和射出磁场的两点间弦的垂直平分线与一半径的交点即为圆心．
半径的确定：半径一般都在确定圆心的基础上用平面几何知识求解，常常是解直角三角形．
运动时间的确定：利用圆心与弦切角的关系计算出粒子所转过的圆心角θ的大小，用公式t=

θ

360°

T，可求出运动时间．
再者就是要正确画出粒子运动的轨迹图，能熟练的运用几何知识解决物理问题．