Question

6．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴正半轴上的M点以速度v₀垂直于y轴射入电场，经x轴上N点与x轴正方向成θ=60°角射入匀强磁场中，最后从y轴负半轴某一点P射出，已知M点坐标为（0，3L），不计粒子重力，求：
（1）匀强电场的电场强度和粒子到N点的速度；
（2）粒子在磁场中运动的轨道半径和粒子打在P点的坐标；
（3）粒子从进入M点运动到P点所用的总时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中运动时做类平抛运动，水平方向匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，可以解出电场强度与粒子的速度；
（2）根据洛伦兹力提供向心力解出粒子做圆周运动的半径，结合几何关系解出粒子打到y轴的位置．
（3）根据粒子在磁场中的运动轨迹可以求得粒子做类平抛运动在x轴方向的位移，由于在x轴方向做匀速直线运动，故类平抛时间t可求．根据轨迹的圆心角可由t=$\frac{θ}{2π}•T$求出粒子在磁场中运动的时间，即可得到总时间．

解答 解：（1）粒子在电场中运动时做类平抛运动：水平方向匀速直线，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，合速度与分速度的关系如图：

 $tan60°=\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$
则：${v}_{y}=\sqrt{3}{v}_{0}$
${v}_{y}=at=\frac{qEt}{m}=\sqrt{3}{v}_{0}$…①
且竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动：OM=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{qE}{2m}{t^2}=3L$…②
由①②解得：$E=\frac{mv_0^2}{2qL}$
${v_N}=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=2{v_0}$
（2）粒子在电场中运动，竖直方向的平均速度：$\overline{{v}_{y}}$=$\frac{0+{v}_{y}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_{0}$，
所以竖直方向的位移：3L=$\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_{0}t$…③
水平方向的位移：x=0N=v₀t…④
由③④解得：x=2$\sqrt{3}$L
由洛伦兹力提供向心力得：$qB{v_N}=m\frac{{{v_N}^2}}{R}$
则$R=\frac{{m{v_N}}}{qB}=2L$
粒子在磁场中的运动轨迹如图：
由图可以看出PN与x轴方向的30°，由于ON等于2$\sqrt{3}$L，
则：PN=$\frac{ON}{cos30°}$=4L
PN距离恰好为半径的两倍，说明粒子正好从NP直径出第四象限
即打在y 轴负半轴的坐标（0，-2L）
（3）粒子在电场中做类平抛运动，水平位移x=0N=v₀t=2$\sqrt{3}$L，
解得：t=$\frac{2\sqrt{3}L}{{v}_{0}}$
粒子在磁场中运动轨迹为半圆，所需的时间：t₂=$\frac{πR}{{v}_{N}}$=$\frac{π2L}{2{v}_{0}}$=$\frac{πL}{{v}_{0}}$
所以粒子的运动总时间为t_总=$\frac{{2\sqrt{3}L+πL}}{v_0}$
答：（1）匀强电场的电场强度为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$，粒子到N点的速度为2v₀；
（2）粒子在磁场中运动的轨道半径为2L，粒子打在P点的坐标为（0，-2L）；
（3）粒子从进入M点运动到P点所用的总时间为$\frac{{2\sqrt{3}L+πL}}{v_0}$．

点评 本题主要考查了带电粒子在混合场中运动的问题，要求同学们能正确分析粒子的受力情况，再通过受力情况分析粒子的运动情况，熟练掌握圆周运动及平抛运动的基本公式，难度适中．