Question

（08年韶关市模拟）（18分）在光滑绝缘的水平面上方，有一足够大的空间，此空间同时存在电场强度为E、方向水平向右的匀强电场和磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场．在水平面上沿电场线方向放有两个静止的小球A和B（均可看成质点），两小球的质量均为m ,A球带电荷量＋q ，B球不带电，开始时两球相距L．现释放两球，A球开始运动，当A、B碰撞时（碰撞时间可忽略），A、B两球的总动能无损失，且A、B两球间无电荷转移.不考虑空气阻力，求：

（1）如果 A球与B球能够发生碰撞，从释放两球至两球发生第一次碰撞需要多长时间？第一次碰撞后A、B两球的速度各为多大？

（2）设q=2×10^-5C，E=1×10⁴N/C，m=0.1kg，B=50T，L=1cm，取g=10m/s²，各次碰撞时相邻两次碰撞的时间间隔分别是多少？A、B两球最多能相碰几次？

Answer 1

解析：

（1）当两球能够发生第一次碰撞时，A球没有离开水平面，沿水平方向只受电场力的作用，做匀加速直线运动，且满足

  （1分）    

  

  （1分）

 

联立以上各式得：   （1分）

 

   （1分）

 

即经过时间两球发生第一次碰撞．

 

A球与B球第一次碰撞时，动量守恒，则   (1分)

 

根据题意，总能量不损失，则      (1分)

 

联立解得      (2分)

 

(2)设 

 

代入数值求得_o=0.2m/s    t_o=0.1s     a=2m/s²          (1分)

 

设每次碰撞前，A、B的速度分别为₁、₂ ，碰撞后分别为  、,由于碰撞中动量守恒，总动能不损失，所以：

   

 

解得            (2分)

 

即碰撞后两球总是交换速度．

 

由上一问可知，第一次碰后A球速度为0 ，此后作匀加速直线运动；B球作速度为₀ 的匀速直线运动．

 

设第二次碰撞前A球速度为v_A2 ,所用时间为△t₂ ,则

 

     

 

解得        (2分)

 

碰撞后，交换速度，A的速度变为v₀ ，B的速度变为2v₀

 

设第三次碰撞前A球速度为v_A3，所用时间为△t₃ ，,则

 

 

 

                     解得_A3=3₀           (1分)

 

再次碰撞后，交换速度，A的速度变为2₀ ，B的速度变为3₀

 

同理可证，第一次碰撞后的过程中，A、B每次碰撞前的加速过程（即相邻两次碰撞的间隔），时间均相等，为

2t=0.2s    (1分)

同时可得，A球加速n次后的速度为ｎ₀ ．碰后速度为（ｎ-1）₀．每一次碰后至下一次碰前速度增加2₀

设加速n次后A球刚要离开地面，则

 

        ｎq₀Ｂ=ｍｇ                              (2分)

 

代值解得          ｎ=5×10³        即最多碰5000次．  　　  (1分)