Question

19．小球自高为h、倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后正好落在斜面底端，已知重力加速度为g．求：
（1）小球在空中运动的合位移与水平方向的夹角α和斜面底边长；
（2）物体与斜面接触时的速度与水平方向的夹角φ．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系求出斜面底边的长度，合位移与水平方向的夹角等于斜面的倾角．
（2）平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，结合运动学公式分别求出速度方向与水平方向夹角的正切值以及位移方向与水平方向的夹角正切值，从而得出物体与斜面接触时的速度与水平方向的夹角．

解答 解：（1）小球从斜面顶端抛出后做平抛运动，正好落在斜面的底端，
可知运动的位移等于斜面的长度，即s=$\frac{h}{sinθ}$，
根据几何关系知，斜面底边长度x=$scosθ=\frac{h}{tanθ}$．
小球在空中运动的合位移与水平方向的夹角α=θ
（2）速度方向与水平方向夹角的正切值tanφ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{gt}{{v}_{0}}$，位移方向与水平方向夹角的正切值$tanθ=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}=\frac{gt}{2{v}_{0}}$，
可知tanφ=2tanθ，
解得φ=arctan2tanθ．
答：（1）小球在空中运动的合位移与水平方向的夹角为θ；斜面底边长为$\frac{h}{tanθ}$．
（2）物体与斜面接触时的速度与水平方向的夹角为arctan2tanθ．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合运动学公式灵活求解，基础题．