Question

2．宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对他们的引力作用．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行．设每个星体的质量均为m，引力常量为G．
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度大小和周期；
（2）假设两种形式下星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？

Answer 1

分析 （1）运行的任一卫星受到中心星体和另一个转动的星体的万有引力作用，合力充当向心力，列式求解即可；
（2）对其中一个星体受力分析，根据平行四边形定则求出合力，有合力充当向心力列式即可．

解答 解：（1）第一种形式下，三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；其中边上的一颗星受中央星和另一颗边上星的万有引力提供向心力：$G\frac{m^2}{R^2}+G\frac{m^2}{{{{（2R）}^2}}}=m\frac{v^2}{R}$，
解得：$v=\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$，
故周期：T=$\frac{2πR}{v}=4πR\sqrt{\frac{R}{5Gm}}$
（2）另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，由万有引力定律和牛顿第二定律得：
$2G\frac{m^2}{L^2}cos{30^0}=m{（{\frac{2π}{T}}）^2}\frac{L}{{2cos{{30}^0}}}$，
联立解得：$L=\root{3}{{\frac{{12{R^3}}}{5}}}$．
答：（1）第一种形式下线速度大小为$\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$，周期为$4πR\sqrt{\frac{R}{5Gm}}$；
（2）第二种形式下星体之间的距离应为$\root{3}{\frac{12{R}^{3}}{5}}$．

点评 本题主要考查了万有引力定律的应用，万有引力定律和牛顿第二定律是力学的重点，在本题中有些同学找不出什么力提供向心力，关键在于进行正确受力分析．