Question

4．如图所示，在足够长的光滑水平地面上静置一质量为M的小球B，质量为m的弹性小球自光滑曲面的某一高度由静止开始自由下滑，在水平面上与B球发生不计机械能损失的正碰，若M=9m，问小球至多能碰几次？

Answer 1

分析 小球碰撞过程动量守恒、机械能守恒，应用动量守恒定律与机械能守恒定律求出碰撞后两球的速度；当后面球的速度大于前面球的速度时，两球能发生碰撞，根据两球的速度关系判断两球碰撞的次数．

解答 解：设小球m从高为h处下滑，下滑过程机械能守恒，
由机械能守恒定律得：mgh=$\frac{1}{2}$mv₀²，解得：v₀=$\sqrt{2gh}$，
m、M碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，
由动量守恒定律得：mv₀=mv₁+Mv_B1 
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv_B1²，
已知：M=9m，解得：v₁=-$\frac{4}{5}$$\sqrt{2gh}$，负号表示方向向左，v_B1=$\frac{1}{5}$$\sqrt{2gh}$，
m小球碰撞后反向运动，冲上曲面，然后再下滑，返回水平面时的速度为：v₁′=v₁=$\frac{4}{5}$$\sqrt{2gh}$，
小球与B发生第二次碰撞过程，以向右为正方向：
由动量守恒得：mv₁′+Mv_B1=mv₂+Mv_B2，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₁′²+$\frac{1}{2}$Mv_B1²=$\frac{1}{2}$mv₂²+$\frac{1}{2}$Mv_B2²=$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v₂=-$\frac{7}{25}$$\sqrt{2gh}$，负号表示方向随便向左，v_B2=$\frac{8}{25}$$\sqrt{2gh}$，
m小球与B发生第二次碰撞后反向运动，冲上曲面，然后再下滑，
返回水平面时的速度为：v₂′=v₂=$\frac{7}{25}$$\sqrt{2gh}$＜v_B2=$\frac{8}{25}$$\sqrt{2gh}$，
两球不能再次发生碰撞，所以两球最多能碰撞两次．
答：小球至多能碰2次．

点评 本题考查了求两球碰撞的次数问题，对于弹性碰撞，动量守恒和机械能守恒是基本规律，知道两球发生碰撞的条件、应用动量守恒定律与机械能守恒定律即可正确解题．