Question

10．自由式滑雪的运动模型可简化为如图所示，小球质量为m，从高为H的曲面上A点自由释放并无摩擦地滚入光滑圆弧槽BC，已知圆弧槽BC所对的圆心角为45°，圆弧半径为R，CD是一个平台，宽、高都为h．求：
（1）小球到B点时对B点的压力；
（2）小球从C点飞出到落到D点这一过程中在空中运动的时间；
（3）为使小球能落在CD之间，求$\frac{h}{H}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）小球从A到B过程，由机械能守恒定律求出小球到B点时的速度，再由牛顿运动定律求解小球对B点的压力．
（2）先根据机械能守恒定律求出小球到C点的速度．小球离开C点后做斜抛运动，根据竖直分运动的规律求时间．
（3）为使小球能落在CD之间，斜抛的水平位移应满足：0＜x≤h，由水平位移与时间的关系和机械能守恒结合解答．

解答 解：（1）从A到B的运动过程中，小球的机械能守恒，则
  mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在B点，小球受到重力和支持力，由这两个力的合力提供向心力，则
  N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
联立解得  N=mg+$\frac{2mgH}{R}$
由牛顿第三定律得，小球到B点时对B点的压力大小为mg+$\frac{2mgH}{R}$，方向竖直向下．
（2）小球到C点时，有 mg（H-h）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
可得 v_C=$\sqrt{2g（H-h）}$
方向与水平方向成45°角，小球从C点飞出后做斜抛运动，竖直方向小球做竖直上抛运动，回到CD平台的时间为 
   t=$\frac{2{v}_{C}sin45°}{g}$=2$\sqrt{\frac{H-h}{g}}$
（3）小球从C点飞出后在t时间内水平飞行的距离为
  x=v_Ccos45°•t=2（H-h）
为使小球能落在CD之间，则须满足：0＜x≤h，
联立得 $\frac{2}{3}$≤$\frac{h}{H}$＜1
答：
（1）小球到B点时对B点的压力是mg+$\frac{2mgH}{R}$，方向竖直向下．
（2）小球从C点飞出到落到D点这一过程中在空中运动的时间是2$\sqrt{\frac{H-h}{g}}$．
（3）为使小球能落在CD之间，$\frac{h}{H}$的取值范围是$\frac{2}{3}$≤$\frac{h}{H}$＜1．

点评 解决本题的关键要会运用运动的分解法研究斜抛运动，知道斜抛运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是竖直上抛运动．