Question

14．如图所示，AB为粗糙水平面，长度AB=5R，其右端与光滑的半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧BC平滑相接，C点的切线沿竖直方向，在C点的正上方有一离C点高度也为R的旋转平台，沿平台直径方向开有两具离心轴心距离相等的小孔P、Q，旋转时两孔均能达到C点的正上方，某时刻，质量为m可看作质点的滑块，与水平地面间的动摩擦因数μ=0，1，当它以v₀=3$\sqrt{gR}$的速度由A点开始向B点滑行时：
（1）求滑块通过C点的速度．
（2）若滑块滑过C点后能通过P孔，又恰能从Q孔落下，则平台转动的角速度ω应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）利用动能定理即可求的到达C点的速度
（2）滑块穿过P孔做竖直上抛运动，由题意，滑块滑过C点后正好穿过P孔，又恰能从Q孔落下，故应在滑块下落的时间内，平台转动半周的奇数倍．根据滑块上抛的时间，求出平台转动的周期，即可求出角速度．

解答 解：由A到C由动能定理可得：
$-μmg•5R-mgR=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得：${v}_{C}=\sqrt{6gR}$
滑块到达P处时速度为v_P，则有：
$-μmg•5R-mg•2R=\frac{1}{2}{mv}_{P}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
滑块穿过P空再回到P的时间为：$t=\frac{2{v}_{P}}{g}$
要使小球从Q点穿过，则满足：$ωt=（2n+1）π\\;\\;\\;n=0，1，2…$
联立解得：$ω=\frac{π（2n+1）}{4}\sqrt{\frac{g}{R}}$（n=0，1，2…）
答（1）求滑块通过C点的速度为$\sqrt{6gR}$．
（2）若滑块滑过C点后能通过P孔，又恰能从Q孔落下，则平台转动的角速度ω应满足$\frac{π（2n+1）}{4}\sqrt{\frac{g}{R}}$，n=1，2，3…

点评 本题考查机械能守恒定律及动能定理的应用，在解题时要注意灵活选择运动过程，对不同的过程应用合适的物理规律；同时注意最后一问中的多解性．