Question

如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点．B点右侧相距为5R的D处有一竖直固定的光滑四分之一圆弧轨道DE，其半径为R，E点切线竖直，用质量为M的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点．用同种材料、质量为m的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块到达B点时速度为v₀=3

gR

，到达D点后滑上光滑的半圆轨道，在E点正上方有一离E点高度也为R的旋转平台，沿平台直径方向开有两个离轴心距离相等的小孔M、N，旋转时两孔均能达到E点的正上方．滑块滑过E点后进入M孔，又恰能从N孔落下，已知AD部分动摩擦因数为μ=0.1，g=10m/s²．求：
（1）BC间距离；
（2）m到达D点时对轨道的压力；
（3）平台转动的角速度为ω．

Answer 1

分析：（1）用质量为M和质量为m的两个物块将弹簧缓慢压缩到C点时，弹簧具有的弹性势能相等．用M弹簧压缩弹簧释放后，弹簧的弹性势能转化为内能，用m压缩弹簧释放后，弹性势能转化为物体m的动能、内能．根据功能关系，求解BC间距离．
（2）由B点运动到D点的过程中，由动能定理求出物块在D点时的速度大小，由牛顿运动定律求解m到达D点时对轨道的压力．
（3）物块m从D点到竖直上抛最高点的过程中，机械能守恒，可求出物块m从D点通过小孔M所能达到的距M点的最大高度h，由h=

1

2

gt2求出竖直上抛运动的时间2t，物块再次落入小孔N过程中，根据转盘运动的周期性有：T=(n+

1

2

)×2t（n=0、1、2、3…），又角速度ω=

2π

T

联立解得角速度．

解答：解：（1）设BC间距离为x，根据能量关系有：
 弹性势能Ep=μMgx=μmgx+

1

2

m

v

2 0

由于v₀=3

gR

  解得：x=

15mR

M-m

；
（2）设物块m到达D点时的速率为v，由B点运动到D点的过程中，由动能定理可得：
-μmg×5R=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

物块在D点时，根据牛顿第二定律：FN-mg=m

v2

R

解得：F_N=9mg
由牛顿第三定律可知，物块对轨道的压力为：FN′=F_N=9mg．
（3）设物块m从D点通过小孔M所能达到的距M点的最大高度为h，
由动能定理可得：-mg(h+2R)=0-

1

2

mv2
设物块m从最高点落回N孔的时间为t，根据对称性有：h=

1

2

gt2
物块再次落入小孔N过程中，对转盘根据周期性有：T=(n+

1

2

)×2t（n=0、1、2、3…）
又ω=

2π

T

联立解得：ω=

π gR

R(2n+1)

．
答：（1）BC间距离是

15mR

M-m

；
（2）m到达D点时对轨道的压力是9mg；
（3）平台转动的角速度为ω是

π gR

R(2n+1)

（n=0、1、2、3…）．

点评：本题是复杂的力学综合题，分析物体的运动过程，把握解题规律是关键，难点是抓住转盘运动的周期性，得到转盘的周期与竖直上抛运动时间的关系．