Question

在水平直轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速为v₀、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求A车的初速度v₀应满足什么条件.

图2

Answer 1

解析：要使两车不相撞，A车追上B车时其速度最多只能与B车速度相等.设A、B两车从相距s到A车追上B车时，A车的位移为s_A，末速度为v_A，所用时间为t；B车的位移为s_B，末速度为v_B，运动过程如图2所示，现用四种方法解答如下：

解法一：利用位移公式、速度公式求解.

对A车有

对B车有

两车有s=s_A-s_B

追上时，两车刚好不相撞的临界条件是v_A=v_B

以上各式联立解得

故要使两车不相撞，A的初速度v₀应满足的条件是：

解法二：利用判别式求解，由解法一可知

整理得3at²-2v₀t+2s=0

这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ=（2v₀）²-4×3a×2s＜0时，t无实数解，即两车不相撞.所以要使两车不相撞，A车的初速度v₀应满足的条件是

解法三：利用速度—时间图象求解，先作A、B两车的速度—时间图象，其图象如图3所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有

图3

v_A=v=v₀-2at

对B车有

v_B=v=at

以上两式联立解得

经t时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离s，它可用图中阴影面积表示，由图象可知

所以要使两车不相撞，A车初速度v₀应满足的条件是：

解法四：巧选参考系求解

以B车为参考系，A车的初速度为v₀，加速度a′=-2a-a=-3a.A车追上且刚好不相撞的条件是：v_t=0，这一过程A车相对B车的位移为s.由运动学公式v_t²-v₀²=2as得，

0²-v₀²=2×（-3a）×s,所以

即要使两车不相撞，A车应满足的条件是：

答案：