Question

1．如图所示，传送带与水平面的夹角θ=37°，皮带在电动机的带动下，始终保持V₀=4m/s的速率顺时针转动，现把一质量m=10kg的工件（可看做质点）以初速度为v₁=10m/s放在皮带的底端，经过一段时间，工件被传送到h=4.32m的高处．已知皮带与工件之间的滑动摩擦因数μ=0.5．取g=10m/s²．sin37°=0.6，cos37°=0.8．
求（1）工件到达最高处时，工件机械能的变化量？
（2）电动机由于传送工件多消耗的电能？

Answer 1

分析 （1）根据相对运动得到摩擦力方向，进而得到工件匀减速运动的加速度，然后根据位移求得运动时间及速度，即可由机械能定义式求解；
（2）根据能量守恒，由工件机械能变化及摩擦产热求得电能．

解答 解：（1）工件速度大于传送带速度的运动过程中，工件的合外力为：F₁=mgsinθ+μmgcosθ=mg
故工件做加速度为${a}_{1}=g=10m/{s}^{2}$的匀减速运动；
所以，工件做匀减速运动的时间为：${t}_{1}=\frac{{v}_{1}-{v}_{0}}{{a}_{1}}=0.6s$
工件运动位移为：${s}_{1}=\frac{{v}_{1}+{v}_{0}}{2}{t}_{1}=4.2m$；
由于mgsinθ＞μmgcosθ，所以，工件达到传送带速度后，摩擦力方向向上，故合外力F₂=mgsinθ-μmgcosθ=0.2mg，故工件做加速度${a}_{2}=0.2g=2m/{s}^{2}$的匀减速运动；
运动位移为：${s}_{2}=\frac{h}{sinθ}-{s}_{1}=3m$
故末速度为：$v′=\sqrt{{{v}_{1}}^{2}-2{a}_{2}{s}_{2}}=2m/s$
运动时间为：${t}_{2}=\frac{{v}_{0}-v′}{{a}_{2}}=1s$；
故工件到达最高处时，工件机械能的变化量为：$△E=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-（\frac{1}{2}mv{′}^{2}+mgh）=48J$；
（2）工件以a₁做匀减速运动时，相对位移为：s₁′=s₁-v₀t₁=1.8m
摩擦产热为：Q₁=μmgs₁′cosθ=72J；
工件以a₂做匀减速运动时，相对位移为：s₂′=v₀t₂-s₂=1m
摩擦产热为：Q₂=μmgs₂′cosθ=40J；
故由能量守恒可得电动机由于传送工件多消耗的电能为：E=Q₁+Q₂-△E=64J；
答：（1）工件到达最高处时，工件机械能的变化量为48J；
（2）电动机由于传送工件多消耗的电能为64J．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．