Question

7．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°．重力加速度大小为g．
（1）若ω=ω₀，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω₀；
（2）若ω=3ω₀，求小物块受到的摩擦力的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）若ω=ω₀，小物块受到的摩擦力恰好为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的大小．
（2）当角速度ω=3ω₀时，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小．

解答 解：（1）物块随陶罐在水平面内做匀速圆周运动，当物块受到的摩擦力恰好等于零时，物块受到的重力和陶罐对其施加的指向O点的支持力的合力提供向心力，有：
$mgtanθ=m{{ω}_{0}}^{2}•Rsinθ$，代入数据，可得${ω}_{0}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$．
（2）当ω=3ω₀时，物块受到的摩擦力沿陶罐壁切线向下，设摩擦力的大小为f，陶罐壁对物块的支持力为F_N，对物块受力分析，则：
水平方向：${F}_{N}sinθ+fcosθ=m{ω}^{2}•Rsinθ$；竖直方向：F_Ncosθ-fsinθ-mg=0，
代入数据，解得：f=$4\sqrt{3}mg$．
方向：沿陶罐壁切线向下．
答：（1）小物块受到的摩擦力恰好为零，${ω}_{0}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$．
（2）小物块受到的摩擦力的大小为$4\sqrt{3}$mg，方向沿切线向下．

点评 解决本题的关键搞清物块做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力进行求解．