Question

16．宇宙中有一个半径为R、自转周期为T的星球，在距该星球表面高为h（h《R）处从静止开始释放-小球，不计阻力，小球落到该星球表面时的速度大小为V，己知万有引力常量为G，求：
（1）该星球表面的重力加速度g；
（2）该星球的质量M：
（3）该星球的同步卫星的高度h’．

Answer 1

分析 （1）根据自由落体运动规律求出星球表面的重力加速度；
（2）利用重力等于万有引力求出星球质量．
（3）根据万有引力提供向心力求解星球的同步卫星的高度．

解答 解：（1）根据自由落体运动的规律有：V²=2gh
解得：$g=\frac{{V}^{2}}{2h}$
（2）根据星球表面物体重力等于万有引力有：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：$M=\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{{V}^{2}{R}^{2}}{2Gh}$
（3）根据万有引力提供向心力有：$\frac{GMm}{（R+h′）}=\frac{m•4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h′）$
所以：h′=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
将M代入得：h′=$\root{3}{\frac{{V}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{8{π}^{2}Gh}}-R$
答：（1）这颗星球表面的重力加速度$\frac{{V}^{2}}{2h}$；
（2）这颗星球的质量$\frac{{V}^{2}{R}^{2}}{2Gh}$；
（3）若星球的自转周期为T，这颗星球同步卫星的高度是$\root{3}{\frac{{V}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{8{π}^{2}Gh}}-R$．

点评 解决本题的基本思路万有引力提供向心力，在星球表面任意物体的重力等于该星球对物体的万有引力．