Question

17．如图所示，一长木板A放在水平地面上，可视为质点的滑块B静止放在距A左端为L_o的木板上，与B完全相同的C以水平初速度v₀冲上A并能与B相碰，B、C碰后粘在一起不再分开并一起向右运动．已知A、B、C的质量均为m，重力加速度为g，B、C与A的动摩擦因数μ₁=$\frac{1}{4}$，A与地面的动摩擦因数μ₂=$\frac{1}{8}$，v₀=$\sqrt{\frac{9}{2}g{L}_{0}}$，设最大静摩擦力等于滑动摩力．求：

（1）物块C冲上木板瞬间，物块A、B、C的加速度各为多少？
（2）C与B发生碰撞后的速度大小为多少？
（3）为使B、C结合体不从A右端掉下来．A的长度至少要多长？

Answer 1

分析 （1）物块C冲上木板瞬间，对A、B、C分别受力分析，根据牛顿第二定律列式求解加速度；
（2）对物体C运用动能定理列式求解碰撞前速度；对碰撞过程根据动量守恒定律列式求解碰撞后的速度；
（3）先对BC整体、A分别受力分析，根据牛顿第二定律求解加速度，当速度相等时不掉来即可；再结合动能定理列式求解．

解答 解：（1）C冲上A后，C受到的摩擦力大小为：
${f}_{C}={μ}_{1}mg=\frac{1}{4}mg$…①
A受地面的最大静摩擦力大小为：
${f}_{Am}={μ}_{2}（3m）g=\frac{3}{8}mg$…②
由于f_Am＞f_C，所以A、B保持静止，即加速度a_A=0，a_B=0，
由牛顿第二定律：f_c=ma_C…③
a_c=$\frac{1}{4}g$=2.5m/s²；　　　　　　　 　　　　　
（2）C在A上做减速运动，设其碰前速度为v_c，由动能定理得
-${μ}_{1}mg{L}_{0}=\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…④
滑块B、C碰撞过程满足动量守恒，设碰后速度为v_BC，有
mv_C=2mv_BC…⑤
解得：
v_C=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}g{L}_{0}}$
v_BC=$\frac{1}{2}\sqrt{{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}g{L}_{0}}$=2$\sqrt{g{L}_{0}}$ 　　　　　　　　　　
（3）B、C结合体受到A的摩擦力${f}_{BC}=2{μ}_{1}mg=\frac{1}{2}mg$，方向向左．
根据牛顿第三定律，结合体给A向右的摩擦力${f}_{BC}^{′}$=f_BC（＞f_Am）…⑥
故A做初速度为零的匀加速直线运动，BC做匀减速直线运动．设刚达到的共同速度为v_ABC，由牛顿第二定律知：
对BC：f_BC=2ma_BC…⑦
对A：${f}_{BC}^{′}-{f}_{Am}=m{a}_{A}^{′}$…⑧
由运动学方程：v_ABC=v_BC-a_BCt…⑨
${v}_{ABC}={a}_{A}^{′}t$…⑩
设A从运动到共速，对地的位移为S_AB，BC在这段时间的对地位移为S_BC，由动能定理：
对BC：-${f}_{BC}{S}_{BC}=\frac{1}{2}•2m{v}_{ABC}^{2}-\frac{1}{2}•2m{v}_{BC}^{2}$…⑪
对A：（${f}_{BC}-{f}_{A}）{S}_{A1}=\frac{1}{2}•m{v}_{ABC}^{2}$S_AB=$\frac{1}{2}m{v}_{ABC}^{2}-0$…⑫
结合体BC在A上运动的距离为：△L=S_BC-S_A1…⑬
若达到共同速度v_ABC时，结合体BC恰好运动至木板A的最右端，木板长度最少：
L=L₀+△L=$\frac{7}{3}{L}_{0}$
答：（1）物块C冲上木板瞬间，物块A、B、C的加速度分别为$\frac{1}{4}g$、0、0；
（2）C与B发生碰撞前的速度大小为2$\sqrt{g{L}_{0}}$；　　
（3）为使B、C结合体不从A右端掉下来，A的长度至少为$\frac{7}{3}{L}_{0}$．

点评 本题考查动量守恒定律的应用，本题中涉及的物体多、过程多、知识点多，关键是明确受力情况、运动情况，然后分过程选择恰当的规律列式求解．