Question

14．传送带与水平面夹角37°，皮带以10m/s的速率运动，皮带轮沿顺时针方向转动，如图所示．今在传送带上端A处无初速地放上一个质量为m=0.5kg的小物块，它与传送带间的动摩擦因数为0.5，若传送带A到B的长度为16m，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8求
（1）物体从A运动到B的时间为多少？
（2）若皮带轮以速率v=2m/s沿逆时针方向转动，在传送带下端B处无初速地放上一个小物块，它与传送带间的动摩擦因数为μ=0.8，那么物块从B端运到A端所需的时间是多少？

Answer 1

分析 （1）开始物块相对皮带向上运动，求出从物块刚放上直到皮带速度达到10m/s的位移，可知还未到达底端，之后由于μ＜tanθ，物体相对传送带向下运动，根据牛顿第二定律求解加速度，再根据运动学公式求解时间；
（2）物体在传送带上受到重力、支持力和摩擦力作用先做初速度为0的匀加速直线运动，当速度和传送带速度一样时开始做匀速运动（是否能匀速需要进行判断），根据总位移为16m，可以求出整个运动过程的时间t．

解答 解：（1）设从物块刚放上直到皮带速度达到10m/s，物体位移为s₁，加速度a₁，时间t₁，因物体速度小于皮带速度大小，根据牛顿第二定律有：${a}_{1}=\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}=10m/{s}^{2}$，方向沿斜面向下，
t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$=1s，s₁=$\frac{1}{2}$a₁${t}_{1}^{2}$=5m＜皮带长度，
由于μ=0.5＜tanθ=0.75，物体一定相对传送带向下运动，设从物块速率为10m/s到B端所用时间为t₂，加速度a₂，位移s₂，物块速度大于皮带速度，物块受到滑动摩擦力沿斜面向上，有：
${a}_{2}=\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}=2m/{s}^{2}$
${s}_{2}=v{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$
即：$16-5=10{t}_{2}+\frac{1}{2}×2{t}_{2}^{2}$
解得：t₂=1s（t₂=-10s舍）
故总时间：t=t₁+t₂=2s
（2）物体放上传送带后，开始一段时间t₁内做初速度为0的匀加速直线运动，物体所受合力F_合=f-Gsin37°=μmgcos37°-mgsin37°
根据牛顿第二定律可得：F_合=ma
此时物体的加速度a=μgcos37°-gsin37°=0.4m/s²
当物体速度增加到2m/s时产生的位移 ${x}_{1}=\frac{{v}^{2}}{2a}=\frac{{2}^{2}}{2×0.4}m=5m$
因为x＜16m，所以匀加速运动的时间 ${t}_{1}=\frac{v}{a}=\frac{2}{0.4}s=5s$
物体速度增加到2m/s后，由于mgsinθ＜μmgcosθ，所以物体将以速度v做匀速直线运动，故匀速运动的位移为 x₂=L-x₁=16m-5m=11m
所用时间 ${t}_{2}=\frac{{x}_{2}}{v}=\frac{11}{2}s=5.5s$
故匀速运动的总时间：t=t₁+t₂=5s+5.5s=10.5s
答：（1）物体从A运动到B的时间为2s．
（2）整个运动过程的时间为10.5s．

点评 该题目的关键就是要分析好各阶段物体所受摩擦力的大小和方向，并对物体加速到与传送带有相同速度后，物体会怎么样运动进行判断．