Question

【题目】当温度从低到高变化时，通常物质会经历固体、液体和气体三种状态，当温度进一步升高，气体中的原子、分子将出现电离，形成电子、离子组成的体系，这种由大量带电粒子（有时还有中性粒子）组成的体系便是等离子体．等离子体在宏观上具有强烈保持电中性的趋势，如果由于某种原因引起局部的电荷分离，就会产生等离子体振荡现象．其原理如图，考虑原来宏观电中性的、厚度为的等离子体薄层，其中电子受到扰动整体向上移动一小段距离，这样在上、下表面就可分别形成厚度均为的负、正电薄层，从而在中间宏观电中性区域形成匀强电场，其方向已在图中示出．设电子电量为、质量为、数密度（即单位体积内的电子数目）为；并设如下各问中，电荷运动及电场变化所激发的磁场及磁相互作用均可忽略不计

（1）试求该匀强电场的大小．（可利用平行板电容器公式：，其中为真空介电常量，为电容器极板面积，为极板间距）

（2）假定此后电子保持整体运动，且其运动对正离子的反冲及其与正离子之间的碰撞均可忽略不计．试说明这种整体运动为简谐振动，并求解振动角频率的表达式．（结果以参量、、、表述）

（3）在上图原等离子体薄层所在区域及其周边施加方向交变外电场，其中、为已知常量．忽略正离子的运动，但考虑因电子与正离子的碰撞所带来的能量损耗，其效果可以等价为平均作用于每个电子上的线性速度阻尼力，其中为已知常量

①仍假定此后电子保持整体运动，且其稳态振动振幅，试求该振幅；

②将等离子体看作是一种电介质，即将交变电场作用下等离子体内部正、负电荷的相对移位看作是“极化”效应，试求解如上交变电场中等离子体薄层对应的复相对介电常量

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)① ②

【解析】

（1）设等离子体上下底面积为，则下表面电荷宏观电量为’

匀强电场场强大小为．

（2）电子整体运动可由单个电子代表．处于题图中宏观电中性区域内的自由电子受力为

其中也是该电子相对原平衡位置的位移，即该电子运动满足．

因此，以该电子代表的整体运动为简谐振动，其角频率为．

（3）①取交变外电场复表述

则单电子稳态振动对应的复表述为

， ①

其中为复振幅．

单电子稳态振动复表述满足方程，

其中为(2)问所求．上式可化为．

将①式代入得，

， ②

，．

②解法一：定义等离子体介质的极化强度矢量为单位体积内微观电偶极矩的求和，则由题文可知，当电子相对正离子整体移位时（为轴方向的单位向量），有

．

由（1）问中结果，得其产生附加电场为．

对题文所述交变外电场作用下的极化机制，采用复表述并投影到轴方向，即得

，． ③

由线性极化规律有

其中为复电极化率．代入③式得，即．

代入②式得．

将代入，有，

解得,

故得复相对介电常量为，．

解法二：由总电场复表述

求解稳态振动复表述（仍设）方程

，，

，即，

得，．