如图所示.有一光滑轨道ABC.AB为竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道.BC部分为足够长的水平轨道.一个质量为m1的小物体自A处由静止释放.m1沿圆弧轨道AB滑下.与在水平轨道BC上质量为m2的静止的物体相碰.(1)如果m2与水平轻弹簧相连.弹簧的另一端连在固定装置P上.m1滑到水平轨道后与m2发生碰撞但不粘连.碰撞后m1与m2一起将弹簧压缩� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图所示，有一光滑轨道ABC，AB为竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道，BC部分为足够长的水平轨道。一个质量为m₁的小物体自A处由静止释放，m₁沿圆弧轨道AB滑下，与在水平轨道BC上质量为m₂的静止的物体相碰。
（1）如果m₂与水平轻弹簧相连，弹簧的另一端连在固定装置P上。m₁滑到水平轨道后与m₂发生碰撞但不粘连，碰撞后m₁与m₂一起将弹簧压缩后被弹回，m₁与m₂重新分开。若弹簧压缩和伸长过程中无机械能损失，且m₁=m₂，求m₁反弹后能达到的最大高度；
（2）如果去掉与m₂相连的弹簧及固定装置P，m₁仍从A处由静止释放。
a．若m₁=

m₂，且m₁与m₂的碰撞过程中无机械能损失，求碰撞后m₁能达到的最大高度。
b．若m₁与m₂的碰撞过程中无机械能损失，要使m₁与m₂只能发生两次碰撞，求m₂与m₁的比值范围。

解：（1）m₁从A滑到B重力势能转化为动能，m₁的速度达到v₁

①
m₁与m₂发生碰撞时弹簧处于自然状态，系统动量守恒，碰撞后以共同速度v共向右运动

v_共=

②
m₁与m₂一起将弹簧压缩后又被弹回，当弹簧恢复到自然长度时m₁与m₂重新分开，此时m₁与m₂的速度都为v_共，m₁以v_共为初速度滑上圆弧轨道，设m₁能达到的最大高度是h

解得

（2）撤去弹簧及固定装置后
a. m₁与m₂发生碰撞时系统动量守恒，且没有机械能损失。设向右为正方向，有

③

④
代入m₁=

m₂可得

，负号表示m1向左运动
此后m₁冲上圆弧轨道，设m₁能达到的最大高度是

将

带入上式，可得

b. m₁滑到水平轨道以速度v₁与静止的m₂发生第一次碰撞，设向右为正方向，有

解得

，

要能发生第二次碰撞的条件是v₁'<0，即m₁＜m₂；且|v₁'|＞v₂'，即|m₁－m₂|＞2m₁，可得m₂＞3m₁ ⑤
m₁从圆弧轨道上滑下，以速度

与速度为

的m₂发生第二次碰撞，有

第二次碰后m₁和m₂的速度

⑥，

⑦
不发生第三次碰撞的条件为

≤

，即-

≤

则

解不等式

得

⑧
解不等式

得m₂≥3m₁ 或m₂≤-m₁ ⑨
综合⑤、⑧、⑨，m₁与m₂只能发生两次碰撞的条件为

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2gR

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A、小球在最高点只受到洛伦兹力和重力的作用

B、小球从初始静止到达最高点的过程中机械能守恒

C、若小球到最高点的线速度为v，小球在最高点时的关系式mg+qvB=m

成立

D、小球滑下初位置离轨道最低点h=

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