Question

天文工作者观测到某行星的半径为r₀，自转周期为T₀，它有一颗卫星，轨道半径为r，绕行星公转周期为T．
求：
（1）该行星表面的重力加速度g为多大？
（2）要在此行星的赤道上发射一颗同步人造卫星，使其轨道在赤道上方，则该同步卫星离地表的高度h为多大？

Answer 1

分析：（1）卫星绕行星做圆周运动的向心力由行星的万有引力提供，行星表面的物体受到的重力等于行星对它的万有引力，据此列方程可以求出行星表面的重力加速度．
（2）同步卫星的周期等于行星自转周期，它做圆周运动的向心力由行星对它的万有引力提供，由牛顿第二定律列方程，可以求出同步卫星到地表的高度．

解答：解：（1）设行星质量是M，卫星质量是m，
对卫星环，由牛顿第二定律得：

GMm

r2

=m(

2π

T

)2r  ①，
设行星表面上一物体质量为m′，
则对该物体有：

GMm′

r02

=m′g  ②，
联立①②得，g=

4π2r3

T2r02

  ③；
（2）设同步卫星距地面的高度是h，
对同步卫星，由牛顿第二定律可得：

GMm″

(r0+h)2

=m″(

2π

T0

)2(r0+h) ④，
联立①④（或②③④）解得：h=r(

T0

T

)

2

3

-r0，h=r?

3	T 2 0 T2

-r0．
答：（1）该行星表面的重力加速度g=

4π2r3

T2 r 2 0

．
（2）该同步卫星离地表的高度h为h=r(

T0

T

)

2

3

-r0（或 h=r?

3	T 2 0 T2

-r0）．

点评：本题考查了求重力加速度及卫星高度问题，知道万有引力提供向心力、熟练应用万有引力公式、牛顿第二定律即可正确解题．