Question

12．质量为m的带正电小球，电荷量为q，通过一根长为L的细线系于点O上．把细线拉直，让小球从P点由静止释放，OP连线与竖直方向的夹角为α=60°．由于水平方向电场的存在，使得小球到达竖直位置A时，速度恰好等于0．求：
（1）电场强度E的大小和方向；
（2）要使小球在竖直平面内恰好做完整的圆周运动．从P点释放小球时，应具有的初速度v_P的最小值（可含根式）．

Answer 1

分析 （1）小球在电场中受到重力、水平向右的静电力和细线的拉力而平衡，作出力图，由平衡条件求解小球所受到的静电力，由电场强度的定义式求解场强的大小．
（2）小球从A运动到B的过程中，重力和电场力做功，小球的动能增加，根据动能定理即可求出小球在B点的速度．

解答 解：（1）小球释放后，重力做正功，而末速度为0．可判断电场力一定做负功，故电场力方向一定向右．而小球带正电，所以电场强度的方向向右．　
由动能定理得：mgL（1-cosα）-EqLsinα=0-0，
解得：E=$\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$；
（2）小球受到重力和电场力的作用，可以把这两个力的合力等效为“重力”，即：
等效重力：G′=$\frac{2\sqrt{3}mg}{3}$，方向与竖直方向夹角30°斜向右下方．　
小球要恰好完成竖直圆周运动，必须能到达等效最高点，且在该点上绳弹力为0．
由牛顿第二定律得：$\frac{2\sqrt{3}mg}{3}$=m$\frac{{v}^{2}}{L}$，
由动能定理得：$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv_P²=$\frac{2\sqrt{3}mg}{3}$ L（1+cos30°），
解得：v_P=$\sqrt{2（\sqrt{3}+1）gL}$；
答：（1）电场强度E的大小为：$\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$，方向：水平向右；
（2）要使小球在竖直平面内恰好做完整的圆周运动．从P点释放小球时，应具有的初速度v_P的最小值为$\sqrt{2（\sqrt{3}+1）gL}$．

点评 本题是电场中物体的平衡问题和复合场中的竖直平面内内的圆周运动问题，按照力学的方法和思路，把电场力当作一般的力处理，问题就变得容易．题目难度大．