Question

【题目】在行星绕太阳的椭圆运动中，若令，，其中，为周期，为半长轴，为离心率．在天文学上，称为偏近点角，试证开普勒方程：．（当行星处子近日点时，取，即）注：偏近点角是过椭圆上的任意一点，垂直于椭圆半长轴，交半长轴外接圆的点到原点的直线与半长轴所成夹角．在椭圆的参数方程，中，参数角即为偏近点角

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

方法1：由能量关系，得

则． ①

由于，则．

由于，其中，则．

由于，则

， ②

则， ③

． ④

把③④代入①，得．

代入②，得．

由开普勒第三定律，得，则．

积分，得．

由于处于近点时，，而此时，得，则，

即．

方法2：建立如图所示的坐标系，则轨道方程为

．

同时，，．

对于任意一点，有，

而，则．

为此，作以为圆心，以为半径的圆，方程为．

过作轴平行线交圆于，则，．

为从近日点到任意点的时间，其间转过了圈，则．

为面积速度，，关键是求，由于对于同样的，椭圆、圆上对应的纵坐标、，易知，则，则．

又，

．

则，

则，

则，

则．

上面计算中，只取了中的一个值，故只需再推广的定义，上式即化为．