Question

10．高山滑雪是2009年哈尔滨第24届大学生冬季运动会的一个重要项目，假设比赛中有一滑雪坡由AB和BC两段组成，AB是倾角θ=37°的斜坡，BC是半径R=5m的圆弧面，圆弧面和斜面相切于B，与水平面相切于C，如图所示，A、B的竖直高度差h₁=9m，竖直台阶CD的高度差h₂=5.6m，台阶底端与倾角也为37°的斜坡DE相连，运动员连同滑雪装备的总质量m=80kg，从A点由静止滑下通过C点后飞落到DE上（不计空气阻力和轨道的摩擦阻力，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
求：（1）运动员到达C点时速度的大小．
（2）运动员经过C点时轨道受到的压力大小．
（3）运动员在空中飞行的时间．

Answer 1

分析 （1）运动员在运动过程中只有重力做功，故由机械能守恒可求得C点速度；
（2）C点时运动员做圆周运动，由牛顿第二定律及向心力公式可求得C点对运动员的支持力；
（3）运动员从C点开始做平抛运动，由平抛运动的规律可运动员在空中飞行的时间．

解答 解：（1）A→C过程．由动能定理得：mg（h₁+△R）=$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$
其中：△R=R（1-cos37°）
联立以上两式，代入数据解得：v_c=10$\sqrt{2}$m/s
（2）在C点，由牛顿第二定律有：F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：F_N=4000N
由牛顿第三定律知，运动员在C点时轨道受到的压力大小为4000N．
（2）设在空中飞行时间为t．
则有：tan37°=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}-{h}_{2}}{{v}_{C}t}$
代入解得：t=$\frac{3}{4}$（2+$\sqrt{2}$）s≈2.56s  
答：（1）运动员到达C点时速度的大小是 10$\sqrt{2}$m/s．
（2）动员经过C点时轨道受到的压力大小j 4000N．
（3）运动员在空中飞行的时间是2.56s．

点评 机械能守恒定律常常要综合平抛或牛顿第二定律进行考查，在做题时要注意明确运动的过程，正确选择物理规律求解．