Question

（2011?河东区一模）如图所示为一种获得高能粒子的装置．环形区域内存在垂直直面向外、大小可调的匀强磁场，质量为m、电荷量为+q的粒子，在环中做半径为R的圆周运动，A、B为两块中心开有小孔的极板，原来电势均为零，每当粒子飞经A板时，A板电势升高为+U，B板电势仍保持为零，粒子在两极中得到加速．每当粒子离开时，A极电势又降为零，粒子在电场中一次一次加速下动能不断增大，而绕行半径不变．
（1）设t=0时，粒子静止在A板小孔处，在电场作用下加速，并开始绕行第一圈，求粒子绕行n圈回到A板时获得的动能E_n；
（2）为使粒子运动半径始终不变，磁场必周期性递增，求粒子绕行第n圈时磁感应强度B_n为多少？
（3）求粒子绕行n圈所需的总时间t_n．（设极板间距远小于R）

Answer 1

分析：（1）由题意可知，每加速一次，粒子的能量就增加qU，所以绕行n圈时粒子的总动能为nqU．
（2）能量逐渐增加，速度就逐渐增加，由能量可表示出速度，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律即可求出第n圈时的磁场强度．
（3）每圈的半径没有发生变化，由周长和每圈的速度即可求出每圈的时间，然后相累加．

解答：解：
（1）粒子绕行一圈，动能的增量为qU，则绕行n圈所获得的总动能为：
E_n=nqU
（2）因为有：nqU=

1

2

m

v

2 n

qvnBn=m

v 2 n

R

得：Bn=

1

R

2nmU q

（3）粒子做半径为R的匀速圆周运动，每一圈所用的时间为

2πR

v

，由于每一圈速度不同，所以每一圈所所需时间也不同，
第一圈：
qU=

1

2

m

v

2 1

v1=

2qU m

第二圈：
2qU=

1

2

m

v

2 2

v2=

2×2qU m

…
第n圈的速度为：
vn=

n×2qU m

故绕行n圈所用的时间为：
t=t₁+t₂+…+t_n
=

2πR

v1

+

2πR

v2

+…+

2πR

vn

=2πR

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)
答：（1）粒子绕行n圈回到A板时获得的动能为nqU
（2）粒子绕行第n圈时磁感应强度为

1

R

2nmU q

（3）求粒子绕行n圈所需的总时间为2πR

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)．

点评：粒子加速器是利用磁场的偏转使电场能重复对粒子加速，粒子在加速器内旋转时半径是不变化的，所以粒子加速器所加的磁场时要发生变．速度越来越大，周期越来越小．解决此类问题，常用到能量的转化与守恒，粒子在匀强磁场中的运动半径和周期．对于周期的计算也可以用圆周的长度除以速度．