Question

宇航员在某星球表面，将一小球从离地面h高处以初速度v₀水平抛出，测出小球落地点与抛出点间的水平位移s．
（1）若该星球的半径为R，万有引力恒量为G，求该星球的质量；
（2）若该星球的半径为R，求该星球卫星的第一宇宙速度；
（3）若该星球的半径为R，求距离该星球表面3R处卫星的线速度大小．

Answer 1

分析：（1）由平抛的性质可以求的星球表面的重力加速度，由此可以求得质量
（2）由第一宇宙速度是重力等于向心力可以得到结果
（3）轨道半径为4R，带入万有引力提供向心力的速度表达式可以得到线速度

解答：解：
（1）由平抛的性质：
水平方向：s=v₀t
竖直方向：h=

1

2

gt²
解得：
g=

2hv02

s2

又由万有引力等于重力
G

Mm

R2

=mg
解得：
M=

2h v 2 0 R2

s2G

（2）第一宇宙速度的表达式为：
v=

gR

解得：
v=

v0

s

2hR

（3）由：
G

Mm

r2

=m

v2

r

，其中r=4R
解得：v=

GM 4R

带入：M=

2h v 2 0 R2

s2G

解得：
v=

v0

2s

2hR

答：
（1）若该星球的半径为R，万有引力恒量为G，该星球的质量

2h v 2 0 R2

s2G

（2）若该星球的半径为R，该星球卫星的第一宇宙速度

v0

s

2hR

（3）若该星球的半径为R，距离该星球表面3R处卫星的线速度大小

v0

2s

2hR

点评：重点是由平抛的性质求的星球表面的重力加速度，在某个星球表面平抛，或竖直上抛这些情形，多是用来求星球表面重力加速度的暗示．