Question

4．已知质量分别均匀的球壳对其内部物体的引力为零．科学家设想在赤道正上方高d处和正下方深为d处各修建一环形轨道，轨道面与赤道面共面．现有A、B两物体分别在上述两轨道中做匀速圆周运动，若地球半径为R，轨道对它们均无作用力，则两物体运动的向心加速度大小、线速度大小、角速度、周期之比为（　　）

• A． $\frac{{a}_{A}}{{a}_{B}}$=（$\frac{R-d}{R+d}$）²
• B． $\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\sqrt{\frac{R-d}{R+d}}$
• C． $\frac{{ω}_{A}}{{ω}_{B}}$=$\sqrt{\frac{（R-d）^{3}}{（R+d）^{3}}}$
• D． $\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}$=$\sqrt{\frac{（R+d）^{3}}{{R}^{3}}}$

Answer 1

分析 由地球质量等于密度乘以体积，可得地球质量表达式；由万有引力提供向心力，对A、B分别列方程可得两物体速度和加速度之比．

解答 解：设地球密度为ρ，则有：
在赤道上方：$\frac{Gρ\frac{4}{3}π{R}^{3}}{（R+d）^{2}}$=$\frac{{v}_{1}^{2}}{R+d}$=a₁=（R+d）ω²=$\frac{4{π}^{2}（R+d）}{{T}^{2}}$
在赤道下方：$\frac{Gρ\frac{4}{3}π（R-d）^{2}}{（R-d）^{2}}$=$\frac{{v}_{2}^{2}}{R-d}$=a₂=（R-d）ω²=$\frac{4{π}^{2}（R-d）}{{T}^{2}}$
则可知，ABC错误，D正确；
故选：D

点评 本题主要掌握万有引力提供向心力的基本应用，要会用数学方法表示球体质量；并正确应用万有引力充当向心力求解各物理量的表达式．