Question

3．地球同步卫星轨道半径约为地球半径的6.6倍，设月球密度与地球相同，试估算：绕月心在月球表面附近做圆周运动的探月探测器的运行周期约为多少小时？

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，表示出卫星运行的周期，根据地球同步卫星轨道半径约为地球半径的6.6倍求出地球表面附近做圆周运动的卫星运行周期．
根据万有引力提供向心力，表示出中心体的质量，再根据月球密度与地球相同，求出绕月球表面附近做圆周运动的探月探测器的运行周期和地球表面附近做圆周运动的卫星运行周期的关系．

解答 解：根据万有引力提供向心力，$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
地球同步卫星轨道半径约为地球半径的6.6倍，
所以地球表面附近做圆周运动的卫星运行周期与地球同步卫星的周期之比是：$\frac{{T}_{地表}}{{T}_{同}}$=$\sqrt{\frac{1}{6．{6}^{3}}}$
地球同步卫星的周期是24h．
解得：T_地表=1.4h
根据星球表面的卫星万有引力提供向心力得，$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
则有M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
T为星球表面运行的卫星周期．
月球密度与地球相同，所以绕月球表面附近做圆周运动的探月探测器的运行周期和地球表面附近做圆周运动的卫星运行周期相同．
所以绕月球表面附近做圆周运动的探月探测器的运行周期约为1.4h．
答：月心在月球表面附近做圆周运动的探月探测器的运行周期约为1.4h．

点评 此题一定明确万有引力提供向心力，会用周期表示向心力，还要知道球体的体积公式及密度公式，同时注意公式间的化简．