Question

一轻质弹簧直立在地面上，其劲度系数为k=400N/m，在弹簧的上端与空心物体A连接，物体B置于A内，B的上下表面恰与A接触，如图所示．A和B的质量均为1kg，先将A向上抬高使弹簧伸长5cm后从静止释放，A和B一起做上下方向的简谐运动，已知弹簧的弹性势能决定于弹簧形变大小（g取10m/s²，阻力不计）求：
（1）物体A的振幅？
（2）物体B的最大速率？
（3）在最高点和最低点A对B的作用力？

Answer 1

分析：（1）简谐运动的振幅A是振动物体离开平衡位置的最大距离，根据此定义，可先求出振子在平衡位置时，弹簧的压缩量，即可求解A．
（2）振子到达平衡位置时B的速率最大，从开始到平衡位置，运用机械能守恒定律列式，可求出B的最大速率．
（3）先由整体法求出加速度，再隔离B，运用牛顿第二定律求解．

解答：解：（1）振子在平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧被压缩△x．（m_A+m_B）g=k△x，
代入数据解得△x=0.05m=5cm
开始释放时振子处在最大位移处，故振幅A为：A=5cm+5cm=10cm．
（2）由于开始时弹簧的伸长量恰等于振子在平衡位置时弹簧的压缩量，故弹性势能相等，设振子的最大速率为v，从开始到平衡位置，根据机械能守恒定律：
  mg?A=

1

2

mv²
则得 v=

2gA

=1.4m/s，即B的最大速率为1.4m/s       
（3）在最高点，振子受到的重力和弹力方向相同，根据牛顿第二定律：
对AB整体，有a=

k△x+(mA+mB)

mA+mB

=20m/s2
A对B的作用力方向向下，其大小N₁为：N₁=m_Ba-m_Bg=10N
在最低点，振子受到的重力和弹力方向相反，根据牛顿第二定律：a=

k(△x+A)-(mA+mB)

mA+mB

=20m/s2
A对B的作用力方向向上，其大小N₂为：N₂=m_Ba+m_Bg=30N
答：
（1）物体A的振幅是10cm．
（2）物体B的最大速率是1.4m/s．
（3）在最高点A对B的作用力方向向下，其大小为10N，在最低点A对B的作用力方向向上，其大小为30N．

点评：本题要紧扣振幅的定义，运用胡克定律、牛顿第二定律和机械能守恒结合进行分析和求解．