Question

如图所示的空间分为I、Ⅱ两个区域，边界AD与边界AC的夹角为30°，边界AC与MN平行，I、Ⅱ区域均存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场的方向分别为垂直纸面向外和垂直纸面向里，Ⅱ区域宽度为d，边界AD上的P点与A点间距离为2d．一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v=2Bqd/m，
沿纸面与边界AD成60°的图示方向从左边进入I区域磁场（粒子的重力可忽略不计）．
（1）若粒子从P点进入磁场，从边界MN飞出磁场，求粒子经过两磁场区域的时间．
（2）粒子从距A点多远处进入磁场时，在Ⅱ区域运动时间最短？
（3）若粒子从P点进入磁场时，在整个空间加一垂直纸面向里的匀强电场，场强大小为E，当粒子经过边界AC时撤去电场，则该粒子在穿过两磁场区域的过程中沿垂直纸面方向移动的距离为多少？

Answer 1

分析：（1）粒子射入磁场后受到洛伦兹力而做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可求得粒子的轨迹半径和周期，画出轨迹，找出轨迹对应的圆心角θ，由t=

θ

360°

T求时间．
（2）因粒子的轨迹半径一定，在当轨迹的弦最短时，在Ⅱ区运动时间最短，由几何关系求得时间最短时运动轨迹对应的弧长，根据几何关系求得入射点到A点的距离．
（3）加上电场后，粒子沿电场方向做匀加速运动，在Ⅱ区域沿磁场方向做匀速运动，根据运动学公式和几何关系求解此题．

解答：解：（1）设粒子在磁场中作圆周运动的半径为r，则
   qvB=m

v2

r

由题意，v=

2Bqd

m

解得，r=2d
粒子在磁场中作圆周运动的周期 T=

2πm

qB

设粒子在Ⅰ区转过的角度为θ，则
   sinθ=

2dsin30°

r

=

1

2

得θ=30°
粒子在Ⅰ区运动时间 t₁=

θ

360°

T
设粒子在Ⅱ区运动时间为t₂，由对称关系可知，粒子经过两磁场区域的时间为t=t₁+t₂=2t₁
解得，t=

πm

3qB

（2）在Ⅱ区运动时间最短时，运动圆弧对应的弦长最短，应为d，由几何关系可知，粒子入射点Q到边界AC的距离应为

d

2

则入射点Q与A点的距离为d．
（3）再加上电场后，粒子沿电场方向做匀加速运动的加速度为 a=

qE

m

在Ⅰ区沿电场方向的偏转距离为 y₁=

1

2

a

t

2 1

在Ⅱ区域沿磁场方向做匀速运动，y₂=at₁?t₂
则在粒子在穿过两磁场区域的过程中沿垂直纸面方向移动的距离为
  y=y₁+y₂=

π2mE

24qB

答：
（1）若粒子从P点进入磁场，从边界MN飞出磁场，粒子经过两磁场区域的时间为

πm

3qB

．
（2）粒子从距A点d处进入磁场时，在Ⅱ区域运动时间最短
（3）粒子在穿过两磁场区域的过程中沿垂直纸面方向移动的距离为

π2mE

24qB

．

点评：本题是常见的带电粒子在磁场中运动的问题，画出轨迹，运用几何关系和牛顿第二定律等知识进行求解．