Question

4．如图，在x＞0的空间存在沿x轴正方向的匀强电场，在x＜0的空间中存在沿x轴负方向的匀强电场，场强大小均为E．一电子（-e，m）从x=d处的P点以初速度v₀沿y轴正方向进入电场区域，求
（1）电子x方向分运动的周期；
（2）电子第二次通过y轴时的速度大小；
（3）电子运动的轨迹与y轴的各个交点中任意两个交点间的距离．

Answer 1

分析 （1）电子垂直电场方向进入电场，在沿电场方向先做匀加速直线运动，然后做匀减速直线运动，在垂直电场方向做匀速直线运动，根据运动学公式和牛顿第二定律，结合运动的对称性求出电子在x方向分运动的周期．
（2）结合电子在y方向上做匀速直线运动，根据对称性和周期性求出任意两个交点的距离．

解答 解：（1）电子在电场中运动的受力情况及轨迹如图甲所示．
在x＞0的空间中，沿y轴正方向以v₀的速度做匀速直线运动，沿x轴负方向做匀加速直线运动，设加速度的大小为a，
则F=eE=ma，$d=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
解得：t₁=$\sqrt{\frac{2md}{eE}}$
电子从A点进入x＜0的空间后，沿y轴正方向仍做v₀的匀速直线运动，沿x轴负方向做加速度大小仍为a的匀减速直线运动，到达Q点．
根据运动的对称性得，电子在x轴方向速度减为零的时间为：t₂=${t}_{1}=\sqrt{\frac{2md}{eE}}$
电子的x方向分运动的周期：$T=4{t}_{1}=4\sqrt{\frac{2md}{eE}}$
（2）由以上的分析可知，粒子第二次通过y轴时速度的大小与第一次通过y轴的速度大小相等，沿x轴方向的分速度的大小：${v}_{x}=a{t}_{1}=\sqrt{\frac{2eEd}{m}}$
电子第二次通过y轴时的速度大小：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{x}^{2}}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2eEd}{m}}$
（3）电子运动的轨迹与y轴的各个交点中任意两个交点间的距离等于电子沿y轴正方向的半个周期内的位移，即：
L=${v}_{0}•\frac{1}{2}T=2{v}_{0}\sqrt{\frac{2md}{eE}}$
答：（1）电子x方向分运动的周期是$4\sqrt{\frac{2md}{eE}}$；
（2）电子第二次通过y轴时的速度大小是$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2eEd}{m}}$；
（3）电子运动的轨迹与y轴的各个交点中任意两个交点间的距离是$2{v}_{0}\sqrt{\frac{2md}{eE}}$

点评 解决本题的关键知道电子在沿电场方向和垂直电场方向上的运动规律，抓住对称性和周期性，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．