Question

11．如图，第一次，小球从粗糙的$\frac{1}{4}$圆形轨道顶端A由静止滑下，到达底端B的速度为v₁，克服摩擦力做功为W₁，第二次，同一小球从底端B以v₂冲上圆形轨道，恰好能到达A点，克服摩擦力做功为W₂，C为$\frac{1}{4}$圆形轨道的中点，则下列说法正确的是（　　）

• A． v₁=v₂
• B． W₁=W₂
• C． 小球第一次在B点对轨道的压力小于第二次在B点对轨道的压力
• D． 小球第一次经过圆弧AC的过程中克服摩擦力做的功为$\frac{1}{2}$W₁

Answer 1

分析 对小球从A到B和从B到A的两个过程分别列式，可比较经过B点时速度大小．分析小球向下和向上运动时经过轨道上同一点时所受支持力的大小，分析比较出滑动摩擦力的大小，即可分析克服摩擦力做功的大小，由动能定理求小球第一次经过圆弧AC的过程中克服摩擦力做的功．

解答 解：A、小球从A到B的过程，由动能定理得 mgh-W₁=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$．
小球从B到A的过程，由动能定理得-mgh-W₂=0-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$．即mgh+W₂=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
对比可得 v₁＜v₂．故A错误．
B、同理可知，小球经过轨道上同一点时，上滑时的速度大于下滑时的速度，上滑时所需要的向心力大于下滑时所需要的向心力，而向心力是由轨道的支持力和重力垂直于轨道的分力的合力提供，所以上滑时所受的支持力大于下滑时所受的支持力，则同一点上滑时所受的摩擦力大于下滑时所受的摩擦力，而上滑与下滑两个过程路程相等，所以有W₁＜W₂．故B错误．
C、由上分析知，小球第一次在B点所受的支持力小于第二次在B点所受的支持力，由牛顿第三定律可知小球第一次在B点对轨道的压力小于第二次在B点对轨道的压力故C正确．
D、从A到C的过程中小球所受的摩擦力的平均值小于从C到B的过程中摩擦力的平均值，所以从A到C的过程中克服摩擦力做功小于从C到B的过程中克服摩擦力做功，则小球第一次经过圆弧AC的过程中克服摩擦力做的功小于$\frac{1}{2}$W₁．故D错误．
故选：C

点评 本题考查了动能定理、向心力的基本运用，运用动能定理要灵活选择研究的过程，根据向心力分析支持力的关系，注意判断不同过程中克服摩擦力做功的关系．