Question

（2010?闵行区二模）高血压已成为危害人类健康的一种常见病，现已查明，血管变细是其诱因之一．为研究这一问题，我们可做一些简化和假设：设血液通过一定长度血管时受到的阻力f与血液流速v成正比，即f=kv （其中k与血管粗细无关），为维持血液匀速流动，在这血管两端需要有一定的压强差．设血管内径为d₁时所需的压强差为△p，若血管内径减为d₂时，为了维持在相同时间内流过同样多的血液，此时血液的流速是原来的

(

d1

d2

)2

倍；血管两端的压强差必须变为

(

d1

d2

)4

△p．

Answer 1

分析：根据压强的定义，可列出阻力与压强及截面积的关系，从而可表示出在两种内径下血液的流速，在相同时间内流过同样多的血液，即为流经血管截面的血液的体积相同，从而列出表示血液体积的等式，即可得出两种情况下血液流速关系和压强关系．

解答：解：血管内径为d₁时，要维持血液匀速流动，则阻力为：
f=△p?s=△p?

1

4

π

d

2 1

…①
由题意知：f=kv…②
①②联立得：v=

π d 2 1

4k

△p…③
同理可得，当血管血管内径减为d₂时，血液的速度为：
v′=

π d 2 2

4k

△p′…④
相同的时间内，血管中流过的血液的体积相等，有：
v△t?

1

4

π

d

2 1

=v′△t?

1

4

π

d

2 2

…⑤
得：

v2

v1

=(

d1

d2

)2…⑥
③④⑤联立得：△p′=(

d1

d2

)4△p
故答案为：(

d1

d2

)2，(

d1

d2

)4

点评：该题考查了运用物理定理、物理规律（物理公式）建立方程，然后运用数学计算的办法解决实际问题的方法．这要求我们建立的方程必须准确，求解的过程必须严谨、细致．