Question

20．一带电粒子质量为m，电荷量为-e，它以某一速度沿直径方向射入圆筒形磁场区域（半径为r），速度方向和磁场方向垂直，磁感应强度为B，设粒子和圆筒壁的碰撞没有能量和电荷量损失，可看作完全弹性碰撞，试问，要使粒子从原入口处返回，粒子在磁场中运动的最短时间是多少？如果粒子在磁场中运动的时间最短，此时，粒子射入是的速度为多大？

Answer 1

分析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据题意求出粒子转过的圆心角，然后根据周期公式求出粒子的运动时间，然后求出粒子的轨道半径，由牛顿第二定律求出粒子的速度．

解答 解：要使粒子从原入口处返回，粒子在磁场中至少发生两次碰撞，粒子发生n次碰撞，每次碰撞过程，粒子做圆周运动转过的圆心角：
θ=180°-$\frac{360°}{n+1}$，
粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{eB}$，
粒子在磁场中的运动时间：t=（n+1）$\frac{θ}{360°}$T=$\frac{n-1}{2}$T=$\frac{（n-1）πm}{eB}$，
由t=$\frac{（n-1）πm}{eB}$可知，碰撞次数越少，粒子运动时间越短，n=2时，
粒子的运动时间最短：t_min=$\frac{πm}{eB}$，粒子碰撞两次时运动轨迹如图所示：

由几何知识可得：α=60°，
粒子轨道半径：Rsin30°=rsin60°，R=$\sqrt{3}$r，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得粒子的速度：v=$\frac{\sqrt{3}eBr}{m}$；
答：粒子在磁场中运动的最短时间是$\frac{πm}{eB}$，粒子在磁场中运动的时间最短时，粒子射入的速度为$\frac{\sqrt{3}eBr}{m}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程，应用粒子周期公式、牛顿第二定律即可正确解题．