Question

3．一座炮台置于距地面60m高的山崖边，以与水平线成45°角的方向发射一颗炮弹，炮弹离开炮口时速度为120m/s，求：
（1）炮弹所达到的最大高度；
（2）炮弹落到地面时的时间和速度；
（3）炮弹的水平射程（忽略空气阻力，g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形定则求出炮弹离开炮口时竖直分速度的大小，结合速度位移公式求出炮弹所能达到的最大高度．
（2）根据速度时间公式求出上升的时间，根据位移时间公式求出下落的时间，从而得出炮弹落到地面的时间，根据动能定理求出落到的速度大小．
（3）根据水平分速度和时间求出炮弹的水平射程．

解答 解：（1）根据平行四边形定则知，炮弹离开炮口时竖直分速度${v}_{y}=vsin45°=120×\frac{\sqrt{2}}{2}m/s=60\sqrt{2}m/s$，
上升的高度${h}_{1}=\frac{{{v}_{y}}^{2}}{2g}=\frac{（60\sqrt{2}）^{2}}{20}=\frac{7200}{20}m=360m$，
则炮弹所达到的最大高度H=60+360m=420m．
（2）炮弹上升的时间${t}_{1}=\frac{{v}_{y}}{g}=\frac{60\sqrt{2}}{10}s=6\sqrt{2}s$，
根据H=$\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$得，下降的时间${t}_{2}=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2×420}{10}}s=2\sqrt{21}s$，
则炮弹落到地面的时间t=$（6\sqrt{2}+2\sqrt{21}）s$=17.6s，
根据动能定理得，$mgh=\frac{1}{2}mv{′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入数据解得v′=124.9m/s
（3）炮弹的水平射程x=$vcos45°t=60\sqrt{2}×17.6m≈1493m$．
答：（1）炮弹所达到的最大高度为420m；
（2）炮弹落到地面时的时间为17.6s，速度为124.9m/s；
（3）炮弹的水平射程为1493m．

点评 本题考查了抛体运动，掌握处理抛体运动的方法是解决本题的关键，知道抛体运动在竖直方向上做竖直上抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，抓住等时性，结合运动学公式灵活求解．